UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 – MATHEMATIK Prof. Dr. Ernst Albrecht Dipl.-Math. Natalie Marx �

Übungen zur Vorlesung Analysis II

Sommersemester 2006

Blatt 8

Abgabe: Mittwoch, 14.06.2006 von 11.00 bis 11.10 Uhr in HS III, Gebäude E2 5 oder bis 11.10 Uhr in den Briefkasten ’Analysis II SS 06’ in Gebäude E2 5 (Untergeschoss)

Aufgabe 1 (2+3+5+3=13 Punkte) Sei E ein 𝕂-Vektorraum (𝕂 = ℝ oder ℂ). Zwei Normen | · |_{1} und | · |_{2} auf E heißen äquivalent, in Zeichen | · |_{1} ∼ | · |_{2}, wenn es Konstanten a, b > 0 gibt mit

a|x|_{1} ≤ |x|_{2} ≤ b|x|_{1} für alle x ∈ E.

(a) Zeigen Sie, dass ∼ eine Äquivalenzrelation ist.

(b) Sei E endlichdimensional mit Basis B := {x_{1}, ..., x_{N}}. Für beliebiges x ∈ E existieren dann eindeutige Zahlen λ_{1}, ..., λ_{N} ∈ 𝕂 mit x = λ_{1}x_{1} + ⋯ + λ_{N}x_{N}. Definiere

|x|_{B,∞} := max{|λ_{1}|, ..., |λ_{N}|}.

Zeigen Sie: | · |_{B,∞} ist eine Norm auf E.

(c) Seien E, B und | · |_{B,∞} wie in (b), und sei | · | eine Norm auf E. Zeigen Sie: Es gibt eine Konstante C > 0 mit

|x| ≤ |x|_{B,∞} · ∑_{j=1}^{N} |x_{j}| und |x|_{B,∞} ≤ C|x| für x ∈ E.

Hinweis: Um die Existenz von C nachzuweisen, zeigen Sie, dass

inf{|x|; x ∈ E, |x|_{B,∞} = 1} > 0.

Verwenden Sie dabei, dass die Menge

{(λ_{1}, ..., λ_{N}) ∈ 𝕂^{N} ; max{|λ_{1}|, ..., |λ_{N}|} = 1}

abgeschlossen und beschränkt ist (Beweis!).

(d) Zeigen Sie: Ist E endlichdimensionaler 𝕂-Vektorraum, so sind alle Normen auf E jeweils zueinander äquivalent. Schließen Sie, daraus, dass jeder normierte endlichdimensionale Raum vollständig ist.

Aufgabe 2 (4+4=8 Punkte) Seien (X_{i}, d_{i}) für i = 1, 2, 3 metrische Räume. Zeigen Sie die folgenden Aussagen:

(a) Sind g : X_{1} → X_{2} und f : X_{2} → X_{3} stetig, so ist auch f ∘ g : X_{1} → X_{3} stetig.

(b) Ist (X_{1}, d_{1}) kompakt und f : (X_{1}, d_{1}) → ℝ stetig, so ist f auf X_{1} beschränkt und es

gibt x_{1}, x_{2} ∈ X_{1} mit

f(x_{1}) ≤ f(x) ≤ f(x_{2})

für alle x ∈ X_{1}.

Bitte wenden!

Aufgabe 3 (10 Punkte) Sei X ein kompakter metrischer Raum und Y ein metrischer Raum. Zeigen Sie, dass jede stetige Abbildung f : X → Y schon gleichmäßig stetig ist.

Aufgabe 4 (4+5=9 Punkte) Seien a_{i} und b_{i} für i = 1, …, n beliebige (reelle oder komplexe) Zahlen und seien weiter p, q > 1 mit \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1.

(a) Zeigen Sie die Höldersche Ungleichung

∑_{i=1}^{n} |a_{i}b_{i}| ≤ (∑_{i=1}^{n} |a_{i}|^{p})^{\frac{1}{p}} (∑_{i=1}^{n} |b_{i}|^{q})^{\frac{1}{q}} .

(b) Zeigen Sie mit Hilfe von Teil (a) die Minkowskische Ungleichung

(∑_{i=1}^{n} |a_{i} + b_{i}|^{p})^{\frac{1}{p}} ≤ (∑_{i=1}^{n} |a_{i}|^{p})^{\frac{1}{p}} + (∑_{i=1}^{n} |b_{i}|^{p})^{\frac{1}{p}} ,

wobei p ≥ 1 ist.

Aufgabe 5* (6 Punkte) Sei a > 0. Bestimmen Sie die relativen und absoluten Extrema der Funktion

f(x, y) = e^{xy} + x^{2} + ay^{2}.

Informationen zu den Übungsgruppen an Pfingstmontag

Wegen des Feiertages am Montag den 05.06.2006, gibt es eine gemeinsame Saalübung für alle Montagsübungsgruppen. Diese findet am 07.06.2006 von 16-18 Uhr in Hörsaal III der Mathematik statt.