UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 – MATHEMATIK Prof. Dr. Ernst Albrecht Dipl.-Math. Natalie Marx �

Übungen zur Vorlesung Funktionentheorie

Sommersemester 2007

Blatt 2

Abgabe: Montag, 30.04.2007 von 9.00 bis 9.10 Uhr in HS 001, Gebäude E1 3 oder bis 9.10 Uhr in den Briefkasten ’FT SS 07’ in Gebäude E2 5 (Untergeschoss)

Aufgabe 1 (4+2+2+2=10 Punkte) Für w ∈ ℂ̂ sei U_{c,ε}(w) := {z ∈ ℂ̂; d_{c}(w, z) < ε} die ε–Umgebung von w in ℂ̂ bezüglich der chordalen Metrik.

(a) Zeigen Sie: Für w ∈ ℂ und ε < d_{c}(w, ∞) ist U_{c,ε}(w) eine offene Kreisscheibe in ℂ. Geben Sie den euklidischen Mittelpunkt und den euklidischen Radius dieser Kreisscheibe an.

(b) Beschreiben Sie U_{c,ε}(w) für w ∈ ℂ und ε := d_{c}(w, ∞) geometrisch.

(c) Beschreiben Sie U_{c,ε}(w) für w ∈ ℂ und ε > d_{c}(w, ∞) geometrisch.

(d) Beschreiben Sie U_{c,ε}(∞) für alle ε > 0 geometrisch.

Aufgabe 2 (3+3+4=10 Punkte) Für diejenigen unter Ihnen, denen die komplexe Exponentialfunktion exp : ℂ → ℂ noch nicht bekannt ist, definieren wir diese durch

exp(z) := e^{x}(cos(y) + i sin(y)) ,

für alle z = x + iy ∈ ℂ mit x, y ∈ ℝ. Zeigen Sie:

(a) exp(z + w) = exp(z) exp(w) für alle z, w ∈ ℂ.

(b) Die Funktion exp ist auf ℂ holomorph und es gilt exp′ ≡ exp auf ℂ.

(c) Jedes z ∈ ℂ \ {0} hat eine eindeutige Darstellung der Form z = r exp(iφ) mit r > 0 und 0 ≤ φ < 2π. Man nennt φ dann das Argument von z und schreibt Arg(z) = φ.

Aufgabe 3 (3+3+4=10 Punkte) Sei U ⊆ ℂ offen und seien f, g : U → ℂ zwei in einem Punkt z_{0} reell differenzierbare Funktionen. Beweisen Sie die folgenden Rechenregeln:

(a) \frac{∂f}{∂z} (z_{0}) = \overline{\frac{∂f̄}{∂z̄}}(z_{0})  und  \frac{∂f}{∂z̄}(z_{0}) = \overline{\frac{∂f̄}{∂z}}(z_{0});

(b) \frac{∂(fg)}{∂z}(z_{0}) = f(z_{0})\frac{∂g}{∂z} (z_{0}) + \frac{∂f}{∂z} (z_{0})g(z_{0});

Bitte wenden!

(c) Ist V ⊆ ℂ offen, ist f(z_{0}) ∈ V, und ist h: V → ℂ in f(z_{0}) reell differenzierbar, so gilt

\frac{∂(h ∘ f)}{∂z}(z_{0}) = \frac{∂h}{∂z}(f(z_{0}))\frac{∂f}{∂z} (z_{0}) + \frac{∂h}{∂z̄}(f(z_{0}))\frac{∂f̄}{∂z}(z_{0}).

Wie lauten die zu (b) und (c) analogen Rechenregeln für die partielle Ableitung nach z̄?

Aufgabe 4 (4+3+3=10 Punkte) Zeigen Sie:

(a) f ist genau dann reell differenzierbar in z_{0}, wenn α, β ∈ ℂ existieren mit

f(z_{0} + h) = f(z_{0}) + αh + βh̄ + o(h) für h → 0;

in diesem Fall sind α und β eindeutig bestimmt, und es gilt

α = \frac{∂f}{∂z} (z_{0})  und  β = \frac{∂f}{∂z̄}(z_{0}).

(b) f ist genau dann komplex differenzierbar in z_{0}, wenn f in z_{0} reell differenzierbar ist und \frac{∂f}{∂z̄}(z_{0}) = 0 gilt.

(c) Es gibt eine überall reell, aber nirgends komplex differenzierbare Funktion f: ℂ → ℂ.

Aufgabe 5* (10 Punkte) Zeigen Sie, dass die durch

f : ℂ \ \{1\} → ℂ , z ↦ exp (\frac{z + 1}{z − 1}) ,

definierte Funktion f auf ℂ \ {1} holomorph ist. Geben Sie für alle c > 0 die geometrische Beschreibung der Höhenlinien

H_{f}(c) := {z ∈ ℂ; |f(z)| = c}

an und zeigen Sie, da f(𝔻) = 𝔻 \ {0} und f(𝕋 \ {1}) = 𝕋 gilt. Hierbei bezeichne 𝔻 := {z ∈ ℂ; |z| < 1} die offene Einheitskreisscheibe und 𝕋 := {z ∈ ℂ; |z| = 1} deren Rand. Sei U ⊆ ℂ offen, sei z_{0} ∈ U, und sei f: U → ℂ eine Funktion.

Informationen

• Bitte beachten Sie, dass eine Anmeldung zu den Übungen nur bis zum 27.04.2007 möglich ist.

• Wegen des Feiertages am Dienstag, den 01. Mai findet die Abgabe dieses Übungsblattes in der Vorlesung am Montag, den 30.04.2007 statt. Die Dienstagsübungsgruppe wird in dieser Woche auf Donnerstag, den 03. Mai von 16 - 18 Uhr in den Zeichensaal verlegt.

• Die Übungsblätter finden Sie auch im Netz unter

             www.math.uni-sb.de/~ag-albrecht/ss07/ft/uebungen.html