UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 – MATHEMATIK Prof. Dr. Ernst Albrecht Dipl.-Math. Natalie Marx �

Übungen zur Vorlesung Funktionentheorie

Sommersemester 2007

Blatt 3

Abgabe: Dienstag, 08.05.2007 von 9.00 bis 9.10 Uhr in HS 002, Gebäude E1 3 oder bis 9.10 Uhr in den Briefkasten ’FT SS 07’ in Gebäude E2 5 (Untergeschoss)

Aufgabe 1 (10 Punkte) Zeigen Sie, dass für alle a ∈ 𝔻 = {z ∈ ℂ; |z| < 1} und alle z ∈ ℂ gilt:

|\frac{a − z}{1 − \overline{a}z} | < 1 ⟺ |z| < 1;  |\frac{a − z}{1 − \overline{a}z} | = 1 ⟺ |z| = 1.

Aufgabe 2 (5+5=10 Punkte) Sei Ω ⊆ ℂ offen. Eine Funktion f : Ω → ℂ heißt auf Ω harmonisch, falls Δf ≡ 0 auf Ω gilt. Zeigen Sie die folgenden Aussagen:

(a) Ist f ∈ C^{2}(Ω, ℂ) auf Ω holomorph, so sind die Funktionen f, Re f und Im f auf Ω harmonisch.

(b) Die Funktion f : ℂ \ {0} → ℂ, z ↦ log(|z|) ist auf ℂ \ {0} harmonisch.

Aufgabe 3 ((3+3+3)+4=13 Punkte)

(a) Untersuchen Sie, in welchen Punkten aus ℂ die folgenden Funktionen f : ℂ → ℂ komplex differenzierbar sind.

(i) f(x + iy) = xy + i(y^{2} − x^{2} + 40)/2.

(ii) f(x + iy) = exp(y) − i exp(x).

(iii) f(z) = z Re z.

(b) Bestimmen Sie eine komplex differenzierbare Funktion f : ℂ → ℂ mit f(0) = i, für deren Realteil u : ℂ → ℝ gilt

u(x, y) = 2x^{3}y − 2xy^{3} + x^{2} − y^{2}.

Aufgabe 4 (7 Punkte) Sei f : D → ℂ eine in a ∈ D komplex differenzierbare Funktion und sei D^{∗} = \{\overline{z}; z ∈ D\}. Zeigen Sie, dass die Funktion

g : D^{∗} → ℂ, g(z) = \overline{f(\overline{z})}

in \overline{a} komplex differenzierbar ist und \overline{f′(a)} die Ableitung g′(\overline{a}) ist.

Bitte wenden!

Aufgabe 5* (2+3=5 Punkte) Sei Ω ⊆ ℂ und f, g : Ω → ℂ harmonische Funktionen. Beweisen oder widerlegen Sie die folgenden Aussagen:

(a) f + g ist harmonisch.

(b) f · g ist harmonisch.

Informationen

• Raumänderung: Die Donnerstagsübungsgruppe findet im Zeichensaal und nicht wie angekündigt im SR 5 statt.

• Die Übungsblätter finden Sie auch im Netz unter

             www.math.uni-sb.de/~ag-albrecht/ss07/ft/uebungen.html