UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 – MATHEMATIK Prof. Dr. Ernst Albrecht Dipl.-Math. Natalie Marx �

Übungen zur Vorlesung Funktionentheorie

Sommersemester 2007

Blatt 4

Abgabe: Dienstag, 15.05.2007 von 9.00 bis 9.10 Uhr in HS 002, Gebäude E1 3 oder bis 9.10 Uhr in den Briefkasten ’FT SS 07’ in Gebäude E2 5 (Untergeschoss)

Aufgabe 1 (10 Punkte) Verifizieren Sie den Satz von Green für das Integral

∫_{γ} (2xy − x^{2})dx + (x + y^{2})dy,

wobei γ der im positiven Sinne durchlaufene Rand des in [0, 1]×[0, 1] enthaltenen Gebietes ist, welches zwischen den Kurven y = x^{2} und y^{2} = x liegt.

Aufgabe 2 (3x4=12 Punkte) Benutzen Sie die (verallgemeinerte) Cauchysche Integralformel um folgende Integrale zu berechnen:

(a) ∫_{∂D_{2}(0)} \frac{sin z}{z + i} dz.

(b) ∫_{|z|= \frac{1}{2}} \frac{e^{1−z}}{z^{3}(1 − z)} dz.

(c) ∫_{|z|=r} \frac{1}{(z − a)^{n}(z − b)^{m}} dz, wobei n, m ≥ 1 und |a| < r < |b| gilt.

(Alle Integrale sollen im mathematisch positiven Sinne integriert werden.)

Aufgabe 3 (5+5=10 Punkte) Sei a ∈ ℝ und a > 1.

(a) Berechnen Sie das folgende Integral mit Hilfe der Cauchyschen Integralformel

∫_{∂D_{1}(0)} \frac{1}{z^{2} + 2az + 1} dz.

(b) Berechnen Sie mit Teil (a) das reelle Integral

∫_{0}^{2π} \frac{1}{a + cos x} dx.

Bitte wenden!

Aufgabe 4 (8 Punkte) Durch die Vorschrift

z ↦ \frac{1}{2πi} ∫_{|w|=1} \frac{1}{w(w − z)} dw

wird auf D_{1}(0) eine holomorphe Funktion f_{1} und auf ℂ \ \overline{D_{1}(0)} eine holomorphe Funktion f_{2} definiert. Bestimmen Sie f_{1} und f_{2}.

Aufgabe 5* (3+3=6 Punkte) Sei γ : [0, 2π] → ℂ definiert durch γ(t) := ae^{it} + be^{−it} mit a > b > 0. Berechnen Sie die folgenden Integrale

(a) ∫_{γ} z dz.

(b) ∫_{γ} z^{2} dz.

Die Übungsblätter finden Sie auch im Netz unter

           www.math.uni-sb.de/~ag-albrecht/ss07/ft/uebungen.html