UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 – MATHEMATIK Prof. Dr. Ernst Albrecht Dipl.-Math. Natalie Marx �

Übungen zur Vorlesung Funktionentheorie

Sommersemester 2007

Blatt 5

Abgabe: Dienstag, 22.05.2007 von 9.00 bis 9.10 Uhr in HS 002, Gebäude E1 3 oder bis 9.10 Uhr in den Briefkasten ’FT SS 07’ in Gebäude E2 5 (Untergeschoss)

Aufgabe 1 (5+5=10 Punkte) Sei f ∈ O(ℂ) und sei p ∈ ℂ[Z] ein Polynom vom Grad n. Zeigen Sie die folgenden Aussagen:

(a) Ist C > 0 und gilt

|f(z)| ≤ C|p(z)| (1)

für alle z ∈ ℂ, so gibt es ein λ ∈ ℂ mit f = λp.

(b) Gibt es Konstanten R > 0 und C > 0, so dass (1) für alle z ∈ ℂ mit |z| ≥ R gilt, so ist f ein Polynom vom Grad ≤ n.

Aufgabe 2 (8 Punkte) Sei G ⊂ ℂ ein Gebiet und f : G → ℂ holomorph. Zeigen Sie, dass f konstant ist, wenn Re f ein lokales Maximum in G hat.

Aufgabe 3 (5+5=10 Punkte)

(a) Sei

f: ℂ \ \{1\} → ℂ, z ↦ exp (\frac{z + 1}{z − 1}) .

Zeigen Sie, dass f ∈ O(ℂ \ {1}) mit

|f(z)| = 1 (z ∈ 𝕋 \ {1})

gilt, wobei 𝕋 := {z ∈ ℂ; |z| = 1}. Ist f beschränkt auf 𝔻 := {z ∈ ℂ; |z| < 1}?

(b) Die Menge

ℍ := {z ∈ ℂ; Im z > 0}

ist ein Gebiet in ℂ mit ∂ℍ = ℝ.

Geben Sie eine stetige, unbeschränkte Funktion f: ℍ^{−} → ℂ mit f|_{ℍ} ∈ O(ℍ) an, die auf ∂ℍ beschränkt ist.

Bitte wenden!

Aufgabe 4 (4x3=12 Punkte) Zeigen Sie die folgenden Aussagen:

(a) Sei f : ℂ → ℂ eine nicht konstante ganze Funktion, dann ist Bild f(ℂ) dicht in ℂ.

(b) Ist f : ℂ → ℂ eine ganze Funktion und ist Im f beschränkt, so ist f konstant.

(c) Sei f : ℂ → ℂ und sei f(ℂ) ⊆ ℍ := {w ∈ ℂ; Im w > 0}, dann ist f konstant.

(d) Ist f : ℂ → ℂ ganz und gibt es zwei über ℝ linear unabhängige komplexe Zahlen w_{1}

und w_{2} mit

f(z + w_{1}) = f(z + w_{2}) = f(z)

für alle z ∈ ℂ, so ist f konstant.

Aufgabe 5* (3+3=6 Punkte) Berechnen Sie die Integrale:

(a) ∫_{∂D_{4}(0)} \frac{ze^{iz}}{(z − π)^{3}} dz.

(b) ∫_{|z−2|=3} \frac{e^{i cos z} sin(z^{4} + 1) − z}{(z − 7)^{2007}} dz.

Informationen

• Wegen des Feiertages am Donnerstag, den 17.05.2007 wird die Übung auf Dienstag, den 15.05.2007 von 16-18 Uhr in den Hörsaal III verlegt.

• Die Übungsblätter finden Sie auch im Netz unter

             www.math.uni-sb.de/~ag-albrecht/ss07/ft/uebungen.html