UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 – MATHEMATIK Prof. Dr. Ernst Albrecht Dipl.-Math. Natalie Marx �

Übungen zur Vorlesung Funktionentheorie

Sommersemester 2007

Blatt 6

Abgabe: Dienstag, 29.05.2007 von 9.00 bis 9.10 Uhr in HS 002, Gebäude E1 3 oder bis 9.10 Uhr in den Briefkasten ’FT SS 07’ in Gebäude E2 5 (Untergeschoss)

Aufgabe 1 (8 Punkte) Sei f : 𝔻 → 𝔻 eine holomorphe Funktion, so dass f(a) = a, f(b) = b für verschiedene Punkte a, b ∈ 𝔻. Zeigen Sie:

(a) f ist ein Automorphismus von 𝔻.

(b) f(z) = z für alle z ∈ 𝔻.

Aufgabe 2 (10 Punkte) Sei Ω ⊆ ℂ offen und sei L ⊂ ℂ eine Gerade. Zeigen Sie mit Hilfe des Satzes 3.4 von Morera: Ist f eine auf Ω stetige und auf Ω \ L holomorphe Funktion, so ist f schon auf ganz Ω holomorph.

Aufgabe 3 (10 Punkte) Sei Ω ⊆ ℂ offen und symmetrisch zur reellen Achse, d. h. es gilt \overline{z} ∈ Ω für alle z ∈ Ω. Zeigen Sie, dass für eine auf Ω_{+} := {z ∈ Ω; Im z ≥ 0} stetige und auf Ω_{+}^{0} := {z ∈ Ω; Im z > 0} holomorphe Funktion f durch

f̃(z) := \{ \begin{matrix}f(z) & für z ∈ Ω_{+} \\ \overline{f(\overline{z})} & für \overline{z} ∈ Ω_{+}^{0} \end{matrix}

eine auf ganz Ω holomorphe Funktion f̃: Ω → ℂ definiert wird.

Aufgabe 4 (4x3=12 Punkte) Berechnen Sie die Konvergenzradien der folgenden Potenzreihen:

(a) ∑_{n=1}^{∞} (\frac{4 − 2i}{5 + i})^{n} (z − i)^{n}.

(b) ∑_{n=2}^{∞}(in^{2} + 2^{n})z^{2n}.

Bitte wenden!

(c) ∑_{n=0}^{∞}(1 + i^{n})^{\frac{n+1}{2}} z^{n}.

(d) ∑_{n=1}^{∞} (∑_{k=1}^{n} \frac{1}{k + i}) (z + 2)^{n}.

Aufgabe 5* (6 Punkte) Entwickeln Sie die Funktion

f(z) = \frac{1}{z^{2} − 5z + 6}

in eine Potenzreihe um z_{0} = 0 und bestimmen Sie deren Konvergenzradius. Die Übungsblätter finden Sie auch im Netz unter

           www.math.uni-sb.de/~ag-albrecht/ss07/ft/uebungen.html