UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 – MATHEMATIK Prof. Dr. Ernst Albrecht Dipl.-Math. Natalie Marx �

Übungen zur Vorlesung Funktionentheorie

Sommersemester 2007

Blatt 7

Abgabe: Dienstag, 05.06.2007 von 9.00 bis 9.10 Uhr in HS 002, Gebäude E1 3 oder bis 9.10 Uhr in den Briefkasten ’FT SS 07’ in Gebäude E2 5 (Untergeschoss)

Aufgabe 1 (7 Punkte) Gibt es eine holomorphe Funktion f : 𝔻 → 𝔻 mit

f (\frac{1}{2}) = \frac{3}{4}  und  f′ (\frac{1}{2}) = \frac{2}{3}?

Aufgabe 2 (6+6=12 Punkte)

Die Potenzreihe f(z) := ∑_{n=0}^{∞} a_{n}z^{n} konvergiere für alle z ∈ ℂ mit |z| < 1. Zeigen Sie die

folgenden Aussagen:

(a) Für r ∈ [0, 1) gilt

∫_{0}^{2π}|f(re^{it})|^{2}dt = 2π ∑_{n=0}^{∞} |a_{n}|^{2}r^{2n}.

(b) Ist f auf {z ∈ ℂ : |z| < 1} beschränkt, so ergibt sich

∑_{n=0}^{∞} |a_{n}|^{2} < ∞  und  \sqrt{1 − r} ∑_{n=0}^{∞} |a_{n}|r^{n} → 0 für r → 1^{−}.

Aufgabe 3 (10 Punkte) Sei G ⊂ ℂ ein Gebiet und sei (f_{n})_{n=1}^{∞} eine lokal beschränkte Folge in O(G), die auf einer nicht diskreten Menge M ⊂ G punktweise gegen eine Funktion f ∈ O(G) konvergiert. Zeigen Sie, dass (f_{n})_{n=1}^{∞} kompakt gegen f konvergiert.

Aufgabe 4 (3+(4+4)=11 Punkte)

(a) Gibt es eine ganze Funktion f mit der Eigenschaft

f (\frac{1}{n}) = \frac{1}{|n|}

für n ∈ ℤ \ {0}?

Bitte wenden!

(b) Untersuchen Sie, ob es eine holomorphe Funktion g : D_{1}(0) → ℂ gibt, die folgende Bedingungen erfüllt und geben Sie diese gegebenenfalls an:

(i) f (\frac{1}{2n}) = \frac{1}{n} und f (\frac{1}{2n + 1}) = \frac{1}{n + 1} für n ∈ ℕ.

(ii) f^{(n)}(0) = (n + 1)! für alle n ∈ ℕ_{0}.

Aufgabe 5* (3+3=6 Punkte) Bestimmen Sie mit einem Potenzreihenansatz jeweils eine ganze Funktion f : ℂ → ℂ mit

(a) f(0) = 1 und f′(z) = zf(z) für alle z ∈ ℂ.

(b) f(0) = 0 und f′(z) = 3f(z) + 2 für alle z ∈ ℂ.

Die Übungsblätter finden Sie auch im Netz unter

           www.math.uni-sb.de/~ag-albrecht/ss07/ft/uebungen.html