UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 – MATHEMATIK Prof. Dr. Ernst Albrecht Dipl.-Math. Natalie Marx �

Übungen zur Vorlesung Funktionentheorie

Sommersemester 2007

Blatt 8

Abgabe: Dienstag, 12.06.2007 von 9.00 bis 9.10 Uhr in HS 002, Gebäude E1 3 oder bis 9.10 Uhr in den Briefkasten ’FT SS 07’ in Gebäude E2 5 (Untergeschoss)

Aufgabe 1 (2+2+2+2=8 Punkte) Seien a, b, c, d ∈ ℂ, wobei Re a > 0, Re b > 0 und z ∈ ℂ \ {x ∈ ℂ : Re x ≤ 0, Im x = 0} gilt. Sei die Potenz mit komplexen Exponenten z^{w} := exp(w log z) für w ∈ ℂ definiert.

(a) Beweisen Sie, dass log(ab) = log a + log b ist.

(b) Berechnen Sie i^{i} und i^{\frac{1}{log i}}.

(c) Zeigen Sie, dass z^{c} · z^{d} = z^{c+d} gilt.

(d) Zeigen Sie, dass a^{w} · b^{w} = (a · b)^{w} gilt.

Aufgabe 2 (5+5=10 Punkte) Sei G ⊆ ℂ ein einfach zusammenhängendes Gebiet.

(a) Zeigen Sie, dass jede nullstellenfreie, holomorphe Funktion auf G eine Wurzel hat, d. h. zu jedem nullstellenfreien f ∈ O(G) existiert ein g ∈ O(G) mit f = g^{2}.

(b) Geben Sie ein Beispiel eines nicht einfach zusammenhängenden Gebiets G und einer nullstellenfreien Funktion f ∈ O(G) an, derart dass f ≠ g^{2} für alle g ∈ O(G) gilt.

Aufgabe 3 (10 Punkte) Sei X ein metrischer Raum. Zwei stetige, geschlossene Wege γ_{0}, γ_{1} : [0, 1] → X heißen homotop in X, falls eine stetige Abbildung γ : [0, 1]^{2} → X - eine Homotopie - existiert mit folgenden Eigenschaften:

(i) γ(0, t) = γ_{0}(t) für alle t ∈ [0, 1],

(ii) γ(1, t) = γ_{1}(t) für alle t ∈ [0, 1],

(iii) γ(s, 1) = γ(s, 0) für alle s ∈ [0, 1].

Sei ∅ ≠ Ω ⊂ ℂ offen, und seien γ_{0} und γ_{1} zwei stetige, geschlossene, in Ω homotope Wege. Zeigen Sie:

n(γ_{0}, z) = n(γ_{1}, z) (z ∈ ℂ \ Ω).

(Hinweis: Für eine zugehörige Homotopie γ : [0, 1]^{2} → X sei γ_{s} := γ(s, ·). Überlegen Sie, dass für z ∈ ℂ \ Ω die Funktion [0, 1] ∋ s ↦ n(γ_{s}, z) lokal konstant ist. )

Bitte wenden!

Aufgabe 4 (2+2+2+3+3=12 Punkte) Wir definieren Funktionen φ : ℂ \ {−i} → ℂ und ψ : ℂ \ {1} → ℂ durch

φ(z) := \frac{z − i}{z + i} und ψ(z) := i\frac{1 + z}{1 − z}

für z ∈ ℂ \ {−i} bzw. z ∈ ℂ \ {1}. Zeigen Sie die folgenden Aussagen:

(a) φ und ψ sind holomorph und invers zueinander.

(b) 1 − |φ(z)|^{2} = \frac{4 Im z}{|z + i|^{2}} für z ∈ ℂ \ \{−i\}.

(c) Im ψ(z) = \frac{1 − |z|^{2}}{|1 − z|^{2}} für z ∈ ℂ \ \{1\}.

(d) ψ(𝔻) = ℍ := {z ∈ ℂ : Im z > 0} und φ(ℍ) = 𝔻.

(e) Berechnen Sie Aut(ℍ).

Aufgabe 5* (3+3=6 Punkte) Seien Γ_{1} und Γ_{2} Ketten von stückweise stetig differenzierbaren, geschlossenen Wegen in ℂ. Zeigen Sie, dass gilt

(a) n(Γ_{1} + Γ_{2}, u) = n(Γ_{1}, u) + n(Γ_{2}, u) für u ∉ Spur(Γ_{1}) ∪ Spur(Γ_{2}).

(b) n(−Γ_{1}, u) = −n(Γ_{1}, u) für u ∉ Spur(Γ_{1}).

Die Übungsblätter finden Sie auch im Netz unter

           www.math.uni-sb.de/~ag-albrecht/ss07/ft/uebungen.html