UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 – MATHEMATIK Prof. Dr. Ernst Albrecht Dipl.-Math. Natalie Marx �

Übungen zur Vorlesung Funktionentheorie

Sommersemester 2007

Blatt 9

Abgabe: Dienstag, 19.06.2007 von 9.00 bis 9.10 Uhr in HS 002, Gebäude E1 3 oder bis 9.10 Uhr in den Briefkasten ’FT SS 07’ in Gebäude E2 5 (Untergeschoss)

Aufgabe 1 (3x3=9 Punkte) Seien Ω_{1}, Ω_{2} zwei nicht leere, offene Teilmengen von ℂ. Eine Abbildung f : Ω_{1} → Ω_{2} heißt biholomorph, falls sie eine holomorphe und bijektive Funktion ist, deren Umkehrabbildung ebenfalls holomorph ist. Gibt es eine biholomorphe Abbildung f : Ω_{1} → Ω_{2}, so nennen wir Ω_{1} und Ω_{2} biholomorph äquivalent.

(a) Zeigen Sie, dass zwei biholomorph äquivalente Gebiete entweder beide einfach zusammenhängend oder beide nicht einfach zusammenhängend sind.

(b) Zeigen Sie, dass ℂ und 𝔻 nicht biholomorph äquivalent sind.

(c) Geben Sie ein unbeschränktes zu 𝔻 biholomorph äquivalentes Gebiet an.

Aufgabe 2 (3x3=9 Punkte) Die Funktion f sei gegeben durch

f(z) = \frac{1}{1 − z^{2}} + \frac{1}{3 − z}

(z ∈ ℂ \ {−1, 1, 3}). Bestimmen Sie die Laurent-Entwicklung von f

(a) im Kreisring 1 < |z| < 3.

(b) im Kreisring 1 < |z − 2| < 3.

(c) um den Entwicklungspunkt z_{0} = 1, die im Punkt 1 + 3i konvergiert.

Aufgabe 3 (4x3=12 Punkte) Klassifizieren Sie die isolierten Singularitäten der folgenden Funktionen und geben Sie im Falle eines Pols dessen Ordnung an:

(a) \frac{z}{exp(z^{2}) − 1}.

(b) \frac{cos z − 1}{z^{2}}.

(c) z cot^{2} z.

(d) exp (sin \frac{1}{z}).

Bitte wenden!

Aufgabe 4 (5+5=10 Punkte) Sei a ∈ ℂ eine isolierte Singularität der holomorphen Funktion f. Zeigen Sie die folgenden Aussagen:

(a) Ist a ein Pol der Ordnung m für f′, so ist m ≥ 2 und f hat einen Pol der Ordnung m − 1 in a.

(b) Ist f′ hebbar in a, so ist auch f hebbar in a.

Aufgabe 5* (3x2=6 Punkte) Berechnen Sie die Residuen der folgenden Funktionen in allen ihren Singularitäten:

(a) f(z) = \frac{z^{2}}{(1 + z)^{3}} .

(b) f(z) = \frac{1}{(z^{2} + 1)^{3}} .

(c) f(z) = z exp (\frac{1}{1 − z} ).

Die Übungsblätter finden Sie auch im Netz unter

           www.math.uni-sb.de/~ag-albrecht/ss07/ft/uebungen.html