UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 – MATHEMATIK Prof. Dr. Ernst Albrecht Dipl.-Math. Natalie Marx �

Übungen zur Vorlesung Funktionentheorie

Sommersemester 2007

Blatt 10

Abgabe: Dienstag, 26.06.2007 von 9.00 bis 9.10 Uhr in HS 002, Gebäude E1 3 oder bis 9.10 Uhr in den Briefkasten ’FT SS 07’ in Gebäude E2 5 (Untergeschoss)

Aufgabe 1 (3x4=12 Punkte) Berechnen Sie mit Hilfe des Residuensatzes den Wert der folgenden Integrale:

(a) ∫_{|z|=2} \frac{cos z}{z^{2} + 1} dz.

(b) ∫_{|z|=1} \frac{z}{e^{iz} − 1} dz.

(c) ∫_{γ} \frac{z}{cosh z − 1} dz, wobei γ der positiv orientierte Rand der Menge

{x + iy : y^{2} < (4π^{2} − 1)(1 − x^{2})} ist.

Aufgabe 2 (10 Punkte) Sei G ⊆ ℂ ein einfach zusammenhängendes Gebiet und sei A ⊂ G diskret. Zeigen Sie, dass f ∈ O(G \ A) genau dann eine komplexe Stammfunktion auf G \ A besitzt, wenn Res(f, z) = 0 für alle z ∈ A gilt.

Aufgabe 3 (4+4=8 Punkte) Berechnen Sie die folgenden Integrale:

(a) ∫_{−∞}^{∞} \frac{x^{2} + x + 5}{(x^{2} + 1)^{2}} dx.

(b) ∫_{−∞}^{∞} \frac{x sin(x)}{x^{2} − 2x + 2} dx.

Aufgabe 4 (10 Punkte) Zeigen Sie, dass für λ > 1 die Gleichung e^{−z} + z = λ in der rechten Halbebene Re z > 0 genau eine Lösung hat, die überdies reell ist.

Bitte wenden!

Aufgabe 5* (4 Punkte) Berechnen Sie das Integral

∫_{0}^{2π} \frac{cos 3t}{5 − 4 cos t} dt.

Die Übungsblätter finden Sie auch im Netz unter

           www.math.uni-sb.de/~ag-albrecht/ss07/ft/uebungen.html