UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 – MATHEMATIK Prof. Dr. Ernst Albrecht Dipl.-Math. Natalie Marx �

Übungen zur Vorlesung Funktionentheorie

Sommersemester 2007

Blatt 12

Abgabe: Dienstag, 10.07.2007 von 9.00 bis 9.10 Uhr in HS 002, Gebäude E1 3 oder bis 9.10 Uhr in den Briefkasten ’FT SS 07’ in Gebäude E2 5 (Untergeschoss)

Aufgabe 1 (6+5=11 Punkte)

(a) Leiten Sie eine Partialbruchzerlegung für \frac{π}{cos(πz)} her.

(b) Zeigen Sie

\frac{π}{2} = 1 + ∑_{n=1}^{∞}(−1)^{n} \frac{2}{(1 − 2n)(1 + 2n)}.

Aufgabe 2 (6+3+3=12 Punkte) Seien w_{1}, w_{2} ∈ ℂ linear unabhängig über ℝ und sei

Ω := {n_{1}w_{1} + n_{2}w_{2} : n_{1}, n_{2} ∈ ℤ} .

(a) Zeigen Sie: Die Weierstraßsche ℘-Funktion

℘(z) := \frac{1}{z^{2}} + ∑_{w∈Ω\\{0\}} (\frac{1}{(z − w)^{2}} − \frac{1}{w^{2}} )

konvergiert kompakt auf ℂ \ Ω.

(b) Berechnen Sie ℘′ und folgern Sie, dass

℘′(z + w) = ℘′(z)

für z ∈ ℂ \ Ω, w ∈ Ω gilt.

(c) Schließen Sie aus (b), dass

℘(z + w) = ℘(z)

für z ∈ ℂ \ Ω, w ∈ Ω gilt.

Aufgabe 3 (7+4=11 Punkte)

Sei (c_{n})_{n=1}^{∞} eine Folge in ℂ, derart dass ∏_{n=1}^{∞}(1 + c_{n}) in ℂ \ {0} existiert. Zeigen Sie, dass

lim_{n→∞} c_{n} = 0 gilt.

Gilt dies auch noch, wenn ∏_{n=1}^{∞}(1 + c_{n}) ≠ 0 nicht mehr gefordert wird?

Bitte wenden!

Aufgabe 4 (Wiederholungsaufgabe) (3x2=6 Punkte) Berechnen Sie die folgenden Integrale:

(a) ∫_{∂D_{2}(0)} \frac{z^{3}}{z^{2} + 1} dz.

(b) ∫_{|z+1|=1} \frac{1}{(z + 1)(z − 1)^{3}} dz.

(c) ∫_{|z−1|=1} (\frac{z}{z − 1})^{n} dz.

Aufgabe 5* (Wiederholungsaufgabe) (6 Punkte) Sei R > 1 und sei f : D_{R}(0) → ℂ eine holomorphe Funktion. Zeigen Sie, dass

∫_{0}^{2π}f(e^{it}) cos^{2} (\frac{t}{2}) dt = π (f(0) + \frac{f′(0)}{2})

gilt.

Informationen zur Übung am 11.07.2007

• Die Übung am Mittwoch, den 11.07.2007 fällt leider aus. Eine Ersatzübung findet am Dienstag, den 10.07.2007 von 16-18 Uhr im Hörsaal III der Mathematik statt.