UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 - MATHEMATIK

Prof. Dr. Ernst Albrecht

�

Übungen zur Vorlesung Topologie (SS 2007)

Lösungen zu Blatt 1

Aufgabe 1. Wir betrachten in ℝ das folgende Mengensystem

T := {(−∞, α) ; α ∈ ℝ ∪ {∞}} ∪ {∅} .

(a) Zeigen Sie, daß T ist eine Topologie auf ℝ ist.

(b) Beschreiben Sie die abgeschlossenen Teilmengen von (ℝ, T ).

(c) Berechnen Sie die Menge der Berührungspunkte und den topologischen Rand von {2007} in (ℝ, T ).

(d) Berechnen Sie das Innere und die Abschließung von (−2007, ∞) in (ℝ, T ).

Lösung: (a) Nach Definition ist ∅, ℝ = (−∞, ∞) ∈ T . Der Durchschnitt von endlich vielen Mengen G_{1}, …, G_{n} ∈ T ist entweder leer (dies genau dann, wenn eine der beteiligten Mengen schon leer ist) oder die Mengen sind von der Gestalt G_{j} = (−∞, α_{j}) mit −∞ < α_{j} ≤ ∞ für j = 1, …, n und es ist G_{1}∩⋯∩G_{n} = (−∞, α) ∈ T mit α := min_{1≤j≤n} α_{j}. Für eine beliebige Familie (G_{i})_{i∈I} von Mengen aus T (mit G_{i} = (−∞, α_{i}) falls G_{i} ≠ ∅, i ∈ I) erhält man ⋃_{i∈I} G_{i} = (−∞, α) ∈ T mit α := sup_{i∈I} falls wenigstens eine der beteiligten Mengen nicht leer ist und ⋃_{i∈I} G_{i} = ∅, falls G_{i} = ∅ ∈ T für alle i ∈ I. Also sind die Bedingungen (O1) - (O3) aus Definition 1.6 der Vorlesung erfüllt und T ist eine Topologie auf ℝ.

(b) Da die abgeschlossenen Teilmengen von (ℝ, T ) gerade die Komplemente der Mengen aus T sind, erhält man für die Familie A_{T} der abgeschlossenen Teilmengen von (ℝ, T ):

A_{T} = {∅, ℝ} ∪ {[α, ∞) ; α ∈ ℝ} .

(c) Ist x ≥ 2007 so enthält nach Definition der Umgebung jede Umgebung U von x in (ℝ, T ) eine offene Menge G = (−∞, α) mit 2007 ≤ x ∈ G = (−∞, α) ⊆ U. Insbesondere folgt 2007 ∈ U. Ist x < 2007, so ist U := (−∞, 2007) eine offene Umgebung von x mit U∩\{2007\} = ∅. Also ist \overline{\{2007\}} = [2007, ∞) die Menge aller Berührungspunkte von \{2007\}. Der Beweis zeigt zugleich, daß jede Umgebung eines Berührungspunktes von {2007} auch Punkte des Komplements von {2007} enthält und somit auch Berührungspunkt zu ℝ \ \{2007\} ist. Also gilt ∂\{2007\} = \overline{\{2007\}} = [2007, ∞).

(d) Die Abschließung (also die Menge aller Berührungspunkte) von {2007} wurde in (c) berechnet. Da {x} keine Intervalle der Form (−∞, α) mit −∞ < α ≤ ∞, also keine nicht leeren, in (ℝ, T ) offene Teilmengen enthält, ist int{2007} = ∅. □

Aufgabe 2. Geben Sie alle möglichen Topologien auf der Menge X := {1, 2} an.

Lösung: Die Potenzmenge 𝔓({1, 2}) hat die Elemente ∅, {1}, {2}, {1, 2}. Jede Topologie auf {1, 2} muß wegen (O1) mindestens die Elemente ∅, {1, 2} enthalten. Damit bleiben als mögliche Topologien auf {1, 2} nur

T_{0} = {∅, {1, 2}}  (Indiskrete Topologie)
T_{1} = {∅, {1}, {1, 2}}
T_{2} = {∅, {2}, {1, 2}}  und
T_{3} = {∅, {1}, {2}, {1, 2}} (Diskrete Topologie) .

Direktes Nachrechnen zeigt, daß auch T_{1} und T_{2} Topologien auf {1, 2} sind. □

Aufgabe 3. Sei (X, T ) ein topologischer Raum und M ⊆ X. Zeigen Sie:

(a) M ist offen in (X, T ) genau dann, wenn M ∩ ∂M = ∅.

(b) \overline{M} = M ∪ ∂M.

Lösung: (a) Nach Definition der Vorlesung ist ∂M = \overline{M} ∩ \overline{X \ M}. Ist M offen und ist x ∈ M, so ist M eine Umgebung von x die mit X \ M keine gemeinsamen Punkte hat. Also ist M ∩ ∂M = ∅.

Ist umgekehrt M ∩ ∂M = ∅ und ist x ∈ M, so ist x kein Berührungspunkt von X \ M, besitzt also eine Umgebung U_{x} mit U_{x} ∩ (X \ M) = ∅ also mit U_{x} ⊆ M. Nach Definition der Umgebung gibt es eine offene Menge G_{x} mit x ∈ G_{x} ⊆ U_{x} ⊆ M. Also folgt

M ⊆ ⋃_{x∈M} G_{x} ⊆ M, d.h. M = ⋃_{x∈M} G_{x} .

Als offene Vereinigung von offenen Mengen ist M daher offen in (X, T ).

(b) Da alle Punkte von M und auch von ∂M insbesondere Berührungspunkte von M sind, hat man M ∪ ∂M ⊆ \overline{M}.

Ist x ∈ \overline{M} beliebig, so ist entweder x ∈ M oder x ist ein Berührungspunkt von M, der nicht in M liegt. Im zweiten Fall folgt x ∈ U ∩ (X \ M) für alle Umgebungen U von x, d.h. x ist auch Berührungspunkt von X \ M und somit ein Randpunkt von M. Also gilt M ∪ ∂M = \overline{M}. □

Aufgabe* 4. Sei (X, T ) ein topologischer Raum und sei ∼ eine Äquivalenzrelation auf X. Für x ∈ X sei [x] := {y ∈ X; y ∼ x} die Äquivalenzklasse von x bezüglich ∼. Mit X/ ∼ bezeichnen wir die Menge aller Äquivalenzklassen bezüglich ∼. Zeigen Sie, daß

T_{∼} := {G ⊆ X/ ∼; {x ∈ X; [x] ∈ G} ∈ T }

eine Topologie auf X/ ∼ definiert. Diese heißt die Quotiententopologie und der topologische Raum (X/ ∼, T_{∼}) heißt der Quotientenraum von (X, T ) bezüglich ∼

Lösung: Sei π : X → X/ ∼, x ↦ [x], die kanonische Surjektion von X auf X/ ∼. Dann ist T_{∼} nach Definition die Menge aller derjenigen Teilmengen G von X/ ∼, für die gilt π^{−1}(G) ∈ T . Wir rechnen nach, daß die Bedingungen (O1) - (O3) für T erfüllt sind:

∅, X ∈ T_{∼} ist offensichtlich.

Sind G_{1}, …, G_{n} endlich viele Mengen aus T_{∼}, so sind π^{−1}(G_{1}), …, π^{−1}(G_{n}) offen in (X, T ) und es folgt π^{−1}(G_{1}) ∩ … ∩ π^{−1}(G_{n}) ∈ T , da endliche Durchschnitte von Mengen aus T wieder in T liegen. Also ist G_{1} ∩ … ∩ G_{n} ∈ T_{∼}.

Ist schließlich (G_{i})_{i∈I} eine beliebige Familie von Mengen aus T_{∼}, so ist π^{−1}(G_{i}) ∈ T und daher

π^{−1}( ⋃_{i∈I} G_{i}) = ⋃_{i∈I} π^{−1}(G_{i}) ∈ T

als Vereinigung von in (X, T ) offenen Mengen. Also folgt ⋃_{i∈I} G_{i} ∈ T_{∼}.

Da T_{∼} die Bedingungen (O1) - (O3) erfüllt, ist T_{∼} eine Topologie auf X/ ∼. □