UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 - MATHEMATIK

Prof. Dr. Ernst Albrecht

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Übungen zur Vorlesung Topologie (SS 2007)

Blatt 1

Aufgabe 1. Wir betrachten in ℝ das folgende Mengensystem

T := {(−∞, α) ; α ∈ ℝ ∪ {∞}} ∪ {∅} .

(a) Zeigen Sie, daß T ist eine Topologie auf ℝ ist.

(b) Beschreiben Sie die abgeschlossenen Teilmengen von (ℝ, T ).

(c) Berechnen Sie die Menge der Berührungspunkte und den topologischen Rand von {2007} in (ℝ, T ).

(d) Berechnen Sie das Innere und die Abschließung von (−2007, ∞) in (ℝ, T ).

Aufgabe 2. Geben Sie alle möglichen Topologien auf der Menge X := {1, 2} an.

Aufgabe 3. Sei (X, T ) ein topologischer Raum und M ⊆ X. Zeigen Sie:

(a) M ist offen in (X, T ) genau dann, wenn M ∩ ∂M = ∅.

(b) \overline{M} = M ∪ ∂M.

Aufgabe* 4. Sei (X, T ) ein topologischer Raum und sei ∼ eine Äquivalenzrelation auf X. Für x ∈ X sei [x] := {y ∈ X; y ∼ x} die Äquivalenzklasse von x bezüglich ∼. Mit X/ ∼ bezeichnen wir die Menge aller Äquivalenzklassen bezüglich ∼. Zeigen Sie, daß

T_{∼} := {G ⊆ X/ ∼; {x ∈ X; [x] ∈ G} ∈ T }

eine Topologie auf X/ ∼ definiert. Diese heißt die Quotiententopologie und der topologische Raum (X/ ∼, T_{∼}) heißt der Quotientenraum von (X, T ) bezüglich ∼

Abgabe: Ort und Zeit wird in der Vorlesung angegeben.

Die Übungsblätter finden Sie auch im Netz unter

          www.math.uni-sb.de/~ag-albrecht/ss07/top/uebungen.html.

Literatur

[1] E. Albrecht, Analysis 1 und 2, Vorlesungsskript, Universität des Saarlandes, 2006.

[2] N. Bourbaki, Éléments de Mathématique: Livre III, Topologie générale. Herman 1948. Auch auf Englisch bei Addison–Wesley 1966.

[3] J. Dugundji, Topology. Allyn and Bacon 1966.

[4] R. Engelking, General Topology. Heldermann 1989.

[5] K. Jänich, Topologie, 5. Auflage, Springer 1996.

[6] J. L. Kelley, General Topology. Springer 1975.

[7] J. R. Munkres, Topology: a first course, Prentice-Hall Inc., Englewood Cliffs, N.J., 1975,

[8] G. Preuss, Allgemeine Topologie. Springer 1972.

[9] Boto von Querenburg, Mengentheoretische Topologie. Springer 1976.

[10] V. Runde, A Taste of Topology, Springer 2005.

[11] H. Schubert, Topologie. Teubner, Stuttgart. 4. Auflage 1975.