UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 - MATHEMATIK

Prof. Dr. Ernst Albrecht

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Übungen zur Vorlesung Topologie (SS 2007)

Blatt 10

Aufgabe 1. Zeigen Sie

(a) Sei E ein 𝕂–Vektorraum mit dim_{𝕂} E = ℵ_{0}, d.h. es gibt eine abzählbar unendliche, linear unabhängige Teilmenge B = {e_{n}; n ∈ ℕ} von E mit E = LH(B). Dann gibt es keine Norm auf E bezüglich der E vollständig ist. Insbesondere ist also jeder unendlich dimensionale Banachraum schon überabzählbar unendlich dimensional.

(b) Auf dem Raum 𝕂[X] aller Polynome gibt es keine Norm, bezüglich der 𝕂[X] vollständig ist.

Aufgabe 2. Zeigen Sie, daß die Menge der Unstetigkeitspunkte einer Funktion f : ℝ → ℝ genau dann von erster Kategorie in ℝ ist, wenn es eine dichte Menge gibt, in deren Punkten f stetig ist.

Sei (X, τ) ein topologischer Raum und A ⊆ X. Eine Menge U ⊆ X heißt Umgebung von A in (X, τ), falls U für alle a ∈ A eine Umgebung von a in (X, τ) ist.

Aufgabe 3. Sei (X, d) ein vollständiger metrischer Raum, X ≠ ∅. Ein Punkt x_{0} ∈ X heißt isoliert, falls es ein ε > 0 gibt mit U_{ε}(x_{0}) = {x_{0}}. Zeigen Sie:

(a) Hat (X, d) keine isolierten Punkte, so ist X überabzählbar.

(b) Ist X abzählbar, so liegt die Menge der isolierten Punkte dicht in (X, d).

Aufgabe* 4. Zeigen Sie, daß für einen topologischen Raum (X, τ) die folgenden Aussagen äquivalent sind:

(a) (X, τ) ist ein T_{1}–Raum, d.h. zu je zwei verschiedenen Punkten x, y ∈ X gibt es eine Umgebung U von x und eine Umgebung V von y mit y ∉ U und x ∉ V.

(b) Für alle x ∈ X ist {x} abgeschlossen.

(c) Jede Teilmenge A von X ist der Durchschnitt aller ihrer Umgebungen.

Abgabe: Freitag, den 29.06.2007 vor der Vorlesung oder bis 9:15 Uhr in dem Briefkasten (FT SS 07) in Gebäude E2 5 (Untergeschoß).

Die Übungsblätter finden Sie auch im Netz unter

          www.math.uni-sb.de/~ag-albrecht/ss07/top/uebungen.html.