UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 - MATHEMATIK

Prof. Dr. Ernst Albrecht

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Übungen zur Vorlesung Topologie (SS 2007)

Blatt 11

Aufgabe 1. Sei (X, τ) ein vollständig regulärer Raum und seien A ⊂ X abgeschlossen und K ⊂ X kompakt mit A ∩ K = ∅. Zeigen Sie die Existenz einer Funktion f ∈ C(X, [0, 1]) mit f ≡ 0 auf A und f ≡ 1 auf K.

Aufgabe 2. Zeigen Sie, daß ein T_{1}–Raum, der eine Basis aus sowohl offenen als auch abgeschlossenen Mengen besitzt, vollständig regulär ist.

Ein topologischer Raum heißt

• Lindelöfraum, falls jede offene Überdeckung von X eine abzählbare Teilüberdeckung besitzt.

• σ–kompakt, falls X abzählbare Vereinigung von kompakten Teilmengen von X ist.

Aufgabe 3. Sei (X, τ) ein topologischer Raum und sein B eine Basis für die Topologie τ. Zeigen Sie:

(a) Ist (X, τ) σ–kompakt, so ist (X, τ) ein Lindelöfraum.

(b) Genau dann ist (X, τ) ein Lindelöfraum, wenn jede Überdeckung von X durch Mengen aus B eine abzählbare Teilüberdeckung besitzt.

(c) Jeder abgeschlossene Unterraum eines Lindelöfraums ist wieder ein Lindelöfraum.

Aufgabe* 4. Sei X, τ) ein vollständig regulärer Lindelöfraum und seien A, B zwei beliebige abgeschlossene, disjunkte Teilmengen von X. Zeigen Sie:

(a) Zu je zwei Punkten a ∈ A, b ∈ B gibt es offene Umgebungen U_{a} von a und V_{b} von b mit \overline{U_{a}} ∩ B = ∅ und \overline{V_{b}} ∩ A = ∅.

(b) Es gibt Folgen (a_{n})_{n=1}^{∞} in A und (b_{n})_{n=1}^{∞} in B mit A ⊆ ⋂_{n=1}^{∞} U_{a_{n}} und B ⊆ ⋂_{n=1}^{∞} V_{b_{n}}.

(c) Die Mengen

U := ⋃_{n=1}^{∞} (U_{a_{n}} \ ⋃_{k=1}^{n} \overline{V_{b_{k}}})  und  V := ⋃_{n=1}^{∞} (V_{b_{n}} \ ⋃_{k=1}^{n} \overline{U_{a_{k}}})

sind offen und disjunkt mit A ⊆ U und B ⊆ V. (X, τ) ist also normal.

Abgabe: Freitag, den 06.07.2007 vor der Vorlesung oder bis 9:15 Uhr in dem Briefkasten (FT SS 07) in Gebäude E2 5 (Untergeschoß).

Die Übungsblätter finden Sie auch im Netz unter

          www.math.uni-sb.de/~ag-albrecht/ss07/top/uebungen.html.