UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 - MATHEMATIK

Prof. Dr. Ernst Albrecht

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Übungen zur Vorlesung Topologie (SS 2007)

Blatt 12

Aufgabe 1. Zeigen Sie, daß die Menge der Funktionen der Gestalt

z ↦ g(z) := ∑_{k=−n}^{n} c_{k}z^{k}

mit n ∈ ℕ und c_{−n}, …, c_{n} ∈ ℂ dicht liegen in C(𝕋, ℂ) (mit 𝕋 := {z ∈ ℂ; |z| = 1}).

Aufgabe 2. Zeigen Sie mit Hilfe der vorhergehenden Aufgabe, daß die Menge der reellen trigonometrischen Polynome

t ↦ a_{0} + ∑_{k=1}^{n} a_{k} cos(kt) + b_{k} sin(kt)

mit n ∈ ℕ, a_{0}, a_{1}, …, a_{n}, b_{1}, …, b_{n} ∈ ℝ bzgl. der Supremumsnorm dicht liegt in der Menge der 2π–periodischen, stetigen, reellwertigen Funktionen.

Aufgabe 3. Sei (X, τ) ein lokalkompakter Hausdorffraum und sei

C_{c}(X, 𝕂) := {f ∈ C(X, 𝕂) ; ∃K = K_{f} ⊆ X, K kompakt, mit f|_{X\K} ≡ 0}

die Menge aller stetigen Funktionen f auf X mit Werten in 𝕂, die außerhalb einer kompakten Teilmenge K_{f} verschwinden. Zeigen Sie, daß C_{c}(X, 𝕂) dicht in (C_{0}(X, 𝕂), ∥ · ∥_{X}) liegt.

Aufgabe* 4. Sei I ≠ ∅ und seien (K_{i}, τ_{i}), i ∈ I nicht leere kompakte Hausdorffräume. K := ∏_{i∈I} K_{i} sei mit der Produkttopologie versehen. Zeigen Sie, daß die Menge aller Funktionen der Art

x ↦ ∑_{j=1}^{n} ∏_{k=1}^{m(j)} f_{i_{k,j}}(x_{i_{k,j}}) (x = (x_{i})_{i∈I} ∈ K)

mit n ∈ ℕ, i_{k,j} ∈ I, f_{i_{k,j}} ∈ C(K_{i_{k,j}}, 𝕂), j = 1, …, n, k = 1, …, m(j), dicht liegt in (C(K, 𝕂), ∥ · ∥_{K}).

Abgabe: Freitag, den 13.07.2007 vor der Vorlesung oder bis 9:15 Uhr in dem Briefkasten (FT SS 07) in Gebäude E2 5 (Untergeschoß).

Die Übungsblätter finden Sie auch im Netz unter

          www.math.uni-sb.de/∼ag-albrecht/ss07/top/uebungen.html.