UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 - MATHEMATIK

Prof. Dr. Ernst Albrecht

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Übungen zur Vorlesung Topologie (SS 2007)

Blatt 3

Ein topologischer Raum (X, T ) heißt T_{1}–Raum, falls es zu je zwei verschiedenen Punkten x_{1}, x_{2} ∈ X Umgebungen U_{j} von x_{j} gibt (j = 1, 2) mit x_{2} ∉ U_{1} und x_{1} ∉ U_{2}.

Aufgabe 1. Sei X eine überabzählbare Menge und sei T_{0} die durch

T_{0} := {∅} ∪ {G ⊆ X; X \ G ist höchstens abzählbar unendlich}

gegebene Topologie auf X. Zeigen Sie:

(a) (X, T_{0}) ist ein T_{1}–Raum aber kein T_{2}–Raum.

(b) Eine Folge (x_{n})_{n=1}^{∞} ist genau dann konvergent in (X, T_{0}) gegen ein x_{0} ∈ X, wenn es ein n_{0} ∈ ℕ gibt, so daß x_{n} = x_{0} für alle n ≥ n_{0} gilt.

(c) Jede Folge aus X kann in (X, T_{0}) gegen höchstens ein x_{0} ∈ X konvergieren.

Aufgabe 2. Sei nun speziell X = ℝ in Aufgabe 1. Zeigen Sie:

(a) Jede Abbildung von f : (ℝ, T_{0}) → (ℝ, T_{|·|}) ist folgenstetig. Hierbei bezeichne T_{|·|} die euklidische Topologie auf ℝ.

(b) Die Abbildungen

id : (ℝ, T_{0}) → (ℝ, T_{|·|})  und  id : (ℝ, T_{|·|}) → (ℝ, T_{0})

sind in jedem Punkt x_{0} ∈ ℝ unstetig.

Aufgabe 3. Sei weiterhin X = ℝ versehen mit der Topologie T_{0} aus Aufgabe 1 und sei M := {2006} ∪ (2007, 2008).

(a) Bestimmen Sie alle Häufungspunkte von M.

(b) Zeigen Sie, daß es keine bzgl. T_{0} gegen 2007 konvergente Folge aus M gibt.

Aufgabe* 4. Seien (X; T_{X}) und (Y, T_{Y}) zwei topologische Räume. B_{Y} sei eine Basis und S_{Y} sei eine Subbasis für (Y, T_{Y}). Zeigen Sie: Für eine Abbildung f : X → Y sind die folgenden Aussagen äquivalent:

(a) f ist stetig.

(b) f^{−1}(B) ∈ T_{X} für alle B ∈ B_{Y}.

(c) f^{−1}(S) ∈ T_{X} für alle S ∈ S_{Y}.

Abgabe: Freitag, den 11.05.2007 vor der Vorlesung oder bis 9:15 Uhr in dem Briefkasten (FT SS 07) in Gebäude E2 5 (Untergeschoß).

Die Übungsblätter finden Sie auch im Netz unter

          www.math.uni-sb.de/~ag-albrecht/ss07/top/uebungen.html.