UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 - MATHEMATIK

Prof. Dr. Ernst Albrecht

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Übungen zur Vorlesung Topologie (SS 2007)

Blatt 4

Erinnerung: Eine Folge (x_{n})_{n=1}^{∞} in einem metrischen Raum (X, d) heißt Cauchy–Folge, falls es zu jedem ε > 0 ein n_{0} ∈ ℕ gibt, so daß für alle n, m ≥ n_{0} gilt: d(x_{n}, x_{m}) < ε. Jede konvergente Folge ist insbesondere eine Cauchy–Folge. (X, d) heißt vollständig, falls in (X, d) jede Cauchy–Folge konvergent ist.

In Analogie zu Cauchy–Folgen können wir Cauchy–Netze definieren: Ein Netz (x_{α})_{α∈𝔸} in einem metrischen Raum (X, d) heißt Cauchy–Netz, falls gilt:

∀ε > 0 ∃α_{0} ∈ 𝔸 ∀α, β ⪰ α_{0} : d(x_{α}, x_{β}) < ε.

Aufgabe 1. Sei (X, d) ein metrischer Raum. Zeigen Sie:

(a) Jedes konvergente Netz in (X, d) ist ein Cauchy–Netz.

(b) (X, d) ist vollständig genau dann, wenn jedes Cauchy–Netz in (X, d) konvergent ist.

Aufgabe 2. Sei (X, T ) ein topologischer Raum, der dem ersten Abzählbarkeitsaxiom genügt, d.h. in dem jeder Punkt eine abzählbare Umgebungsbasis besitzt. Zeigen Sie:

(a) Eine Abbildung f : X → Y von (X, T ) in einen topologischen Raum (Y, T′) ist genau dann stetig, wenn sie folgenstetig ist.

(b) Ein Punkt x ∈ X ist genau dann Häufungspunkt einer Menge M ⊆ X, wenn es eine gegen x in (X, T ) konvergente Folge gibt.

Aufgabe 3. Sei (X, T ) ein topologischer Raum und sei 𝕂 = ℝ oder 𝕂 = ℂ (versehen mit der euklidischen Topologie). Zeigen Sie: Die Menge C((X, T ), 𝕂) der stetigen Funktionen auf X mit Werten in 𝕂 ist bezüglich der punktweisen Operationen der Addition, der Multiplikation und der Multiplikation mit Skalaren eine Unteralgebra der Algebra aller auf X definierten 𝕂–wertigen Funktionen.

Aufgabe* 4. Sei (X, T ) ein topologischer Raum und seien f, g : X → ℝ stetige reellwertige Funktionen (ℝ sei versehen mit der euklidischen Topologie). Zeigen Sie die Stetigkeit der durch

(f ∨ g)(x) := max{f(x), g(x)} und (f ∧ g)(x) := min{f(x), g(x)} (x ∈ X)

definierten Funktionen f ∨ g, f ∧ g : X → ℝ.

Abgabe: Freitag, den 18.05.2007 vor der Vorlesung oder bis 9:15 Uhr in dem Briefkasten (FT SS 07) in Gebäude E2 5 (Untergeschoß).

Die Übungsblätter finden Sie auch im Netz unter

          www.math.uni-sb.de/~ag-albrecht/ss07/top/uebungen.html.