UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 - MATHEMATIK

Prof. Dr. Ernst Albrecht

�

Übungen zur Vorlesung Topologie (SS 2007)

Blatt 5

Aufgabe 1. Sei ℝ versehen mit der euklidischen Topologie und sei

ℝ/ℤ = {x + ℤ; x ∈ ℝ}

versehen mit der Quotiententopologie T_{∼} bezüglich der durch

x ∼ y :⟺ x − y ∈ ℤ (x, y ∈ ℝ)

gegebenen Äquivalenzrelation ∼ auf ℝ. Zeigen Sie, daß (ℝ/ℤ, T_{∼}) homöomorph ist zu der mit der Unterraumtopologie von (ℂ, T_{|·|}) versehenen Einheitskreislinie 𝕋 in ℂ.

Aufgabe 2. Seien (X_{1}, T_{1}), (X_{2}, T_{2}) zwei topolgogische Räume und sei X := X_{1} × X_{2} versehen mit der Produkttopologie. Zeigen Sie für alle A ⊆ X_{1}, B ⊆ X_{2}:

(a) int(A × B) = int(A) × int(B).

(b) \overline{A × B} = \overline{A} × \overline{B}.

(c) ∂A × B = (∂(A) × \overline{B}) ∪ (\overline{A} × ∂(B)).

Aufgabe 3. Sei (X, τ) das topologische Produkt einer Familie (X_{i}, τ_{i}) (i ∈ I) von topologischen Räumen. Zeigen Sie:

(a) (X, τ) ist genau dann separiert, wenn alle (X_{i}, τ_{i}), i ∈ I, separiert sind.

(b) Ein Netz (x_{α})_{α∈𝔸} in X ist genau dann konvergent in (X, T ), wenn für alle i ∈ I das Netz der i–ten Komponenten (x_{α,i})_{α∈𝔸} in (X_{i}, τ_{i}) konvergent ist.

Aufgabe* 4. Sei E := C([0, 1], 𝕂) mit 𝕂 = ℝ oder 𝕂 = ℂ und E^{∣} der Raum aller bezüglich der sup–Norm auf E stetigen 𝕂–linearen Abbildungen von E nach 𝕂.

(a) ⟨E, E^{∣}⟩ mit ⟨x, f⟩ := f(x) für x ∈ C([0, 1], 𝕂) und f ∈ E^{∣} ist ein Dualsystem.

(b) ⟨E, E⟩ mit ⟨f, g⟩ := ∫_{o}^{1} f(t)g(t)dt für f, g ∈ C([0, 1], 𝕂) ist ein Dualsystem.

Abgabe: Freitag, den 25.05.2007 vor der Vorlesung oder bis 9:15 Uhr in dem Briefkasten (FT SS 07) in Gebäude E2 5 (Untergeschoß).

Die Übungsblätter finden Sie auch im Netz unter

          www.math.uni-sb.de/~ag-albrecht/ss07/top/uebungen.html.