UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 - MATHEMATIK

Prof. Dr. Ernst Albrecht

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Übungen zur Vorlesung Topologie (SS 2007)

Blatt 6

Aufgabe 1. Sei M eine nicht leere Menge und sei (X, d) ein metrischer Raum. Mit F (M, X) bezeichnen wir die Menge aller Abbildungen f : M → X von M nach X. Sei 𝔖 eine Familie von Teilmengen von M, mit je zwei Mengen A, B ∈ 𝔖 auch A ∪ B enthält. Für alle f ∈ F (M, X), A ∈ 𝔖, ε > 0 definieren wir

U_{A,ε}(f) := {g ∈ F (M, X) ; sup_{a∈A} |f(a) − g(a)| < ε} .

Zeigen Sie:

(a) 𝔅 := {U_{A,ε}(f) ; f ∈ F (M, X), A ∈ 𝔖, ε > 0} erfüllt die Bedingungen (B1) – (B3) aus Bemerkung 1.18. Nach dieser Bemerkung ist also 𝔅 eine Umgebungsbasis von offenen Teilmengen einer eindeutig bestimmten Topologie τ_{𝔖}. Man nennt τ_{𝔖} die Topologie der gleichmäßigen Konvergenz auf allen Mengen aus 𝔖.

(b) τ_{𝔖} ist genau dann separiert, wenn ⋃_{A∈𝔅} A = M.

Im Fall 𝔖 = {M} spricht man von der Topologie der gleichmäßigen Konvergenz auf M. Ist 𝔉 die Menge aller endlichen Teilmengen von M, so heißt τ_{𝔉} die Topologie der punktweisen Konvergenz.

Aufgabe 2. Zeigen Sie, daß mit den Bezeichnungen und Definitionen aus Aufgabe 1 gilt:

(a) Ein Netz (f_{α})_{α∈𝔸} in F (M, X) ist genau dann konvergent bezüglich der Topologie der gleichmäßigen Konvergenz gegen eine Abbildung f ∈ F (M, X), wenn sie gleichmäßig auf M gegen f konvergiert d.h., wenn

lim_{α} sup_{x∈M} d(f(x), f_{α}(x)) = 0 in ℝ.

(b) Ist M mit einer Topologie τ versehen und ist (f_{α})_{α∈𝔸} ein Netz von stetigen Funktionen aus F (M, X) welches gleichmäßig auf M gegen eine Abbildung f : M → X konvergiert, so ist auch f stetig.

Sei 𝕂 = ℝ oder 𝕂 = ℂ. Für α ≥ 0 sei M_{α} := ∏_{k=1}^{∞}{x ∈ 𝕂; |x| ≤ k^{−α}}.

Aufgabe 3. Für welche α ≥ 0 ist M_{α} eine kompakte Teilmenge von

a) (ℓ^{∞}(ℕ), ∥ · ∥_{∞})  bzw. von  (b) (ℓ^{2}(ℕ), ∥ · ∥_{2}) ?

Aufgabe* 4. Sei (X, τ) ein topologischer Raum und sei X × X mit der Produkttopologie versehen. Zeigen Sie, daß die Diagonale D := {(x, x) ; x ∈ X} genau dann in X × X abgeschlossen ist, wenn τ eine separierte Topologie ist.

Abgabe: Freitag, den 01.06.2007 vor der Vorlesung oder bis 9:15 Uhr in dem Briefkasten (FT SS 07) in Gebäude E2 5 (Untergeschoß).

Die Übungsblätter finden Sie auch im Netz unter

          www.math.uni-sb.de/~ag-albrecht/ss07/top/uebungen.html.