UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 - MATHEMATIK

Prof. Dr. Ernst Albrecht

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Übungen zur Vorlesung Topologie (SS 2007)

Blatt 7

Aufgabe 1. Sei X := {z ∈ ℂ; |z| ≤ 1} versehen mit der euklidischen Topologie. Wir definieren auf X eine Äquivalenzrelation ∼ durch

z ∼ w : ⟺ \begin{cases}|z| = |w| & falls |z| < 1 \\ z = w & falls |z| = 1. \end{cases}

und versehen den zugehörigen Quotientenraum X/_{∼} mit der Quotiententopologie τ_{∼}. Zeigen Sie:

(a) (X/_{∼}, τ_{∼}) ist ein T_{1}–Raum aber kein T_{2}–Raum.

(b) (X/_{∼}, τ_{∼}) ist kompakt.

(c) Ist π : X → X/_{∼} die kanonische Surjektion, so ist π eine offene Abbildung (bildet also offene Teilmengen von X auf offene Teilmengen von (X/_{∼}, τ_{∼}) ab).

(d) Sind z_{1}, z_{2} ∈ X zwei voneinander verschiedene Punkte mit |z_{1}| = |z_{2}| = 1, so gibt es kompakte Umgebungen V_{j} von π(z_{j}), j = 1, 2, deren Schnittmenge nicht kompakt in (X/_{∼}, τ_{∼}) ist .

Aufgabe 2. Ein topologischer Raum (X, τ) heißt folgenkompakt, falls jede Folge aus X eine in (X, τ) konvergente Teilfolge besitzt. Zeigen Sie, daß ein abzählbares topologisches Produkt von folgenkompakten topologischen Räumen wieder folgenkompakt ist. Hinweis: Diagonalfolgenverfahren.

Aufgabe 3. Sei (X, τ) ein topologischer Raum. Eine Abbildung f : X → ℝ heißt nach oben bzw. nach unten halbstetig, x ∈ X, falls es zu jedem ε > 0 eine Umgebung U von x gibt mit f(y) < f(x) + ε (bzw. f(y) > f(x) − ε) für alle y ∈ U. f heißt nach oben (bzw. nach unten) halbstetig auf X, falls f in allen Punkten von X halbstetig ist. Zeigen Sie: Ist (X, τ) kompakt, so gibt es zu jeder nach oben (bzw. nach unten) halbstetigen Funktion f : X → ℝ ein x_{0} ∈ X mit f(x_{0}) = sup f(X) (bzw. mit f(x_{0}) = inf f(X)).

Aufgabe* 4. Sei X = [0, 1] versehen mit der Topologie

τ := {∅, X} ∪ {[0, 1) \ A; A ist abzählbare Teilmenge von X}

Zeigen Sie:

(a) (X, τ) ist kompakt.

(b) Die in (X, τ) offene Menge G := [0, 1) enthält für kein x ∈ G eine kompakte Umgebung von x.

Abgabe: Freitag, den 08.06.2007 vor der Vorlesung oder bis 9:15 Uhr in dem Briefkasten (FT SS 07) in Gebäude E2 5 (Untergeschoß).

Die Übungsblätter finden Sie auch im Netz unter

          www.math.uni-sb.de/~ag-albrecht/ss07/top/uebungen.html.