UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 - MATHEMATIK

Prof. Dr. Ernst Albrecht

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Übungen zur Vorlesung Topologie (SS 2007)

Blatt 8

Aufgabe 1. Sei 𝕂 = ℝ oder 𝕂 = ℂ und sei die Algebra C(I) aller auf I := [−1, 1] stetigen 𝕂-wertigen Funktionen versehen mit der Supremumsnorm ∥·∥_{I}. Wir versehen die Algebra C^{1}([−1, 1]) aller auf [−1, 1] stetig differenzierbaren 𝕂-wertigen Funktionen mit der durch

∥f∥_{1} := ∥f∥_{I} + ∥f′∥_{I} (f ∈ C^{1}(I))

definierten Norm. Zeigen Sie, daß die Menge {f ∈ C^{1}(I) ; ∥f∥_{1} ≤ 1} relativkompakt in (C(I), ∥ · ∥_{I}) ist.

Aufgabe 2. Sei (G, ·) eine (multiplikativ geschriebene) Gruppe mit neutralem Element e der Multiplikation, auf der eine Topologie τ gegeben sei, für die die durch

(g, h) ↦ μ(g, h) := g · h^{−1} (g, h ∈ G)

definierte Abbildung μ : G × G → G stetig ist. 𝔘(e) sei die Menge aller Umgebungen von e in (G, τ). Zeigen Sie:

(a) Die Abbildungen M : G × G → G, (g, h) ↦ M(g, h) := g · h und J : G → G, g ↦ J(g) := g^{−1}, sind stetig.

(b) Für alle U ∈ 𝔘(e) gibt es eine Umgebung V von e mit

V · V := {g · h; g, h ∈ V } ⊆ U.

(c) Für alle U ∈ 𝔘(e) gibt es eine Umgebung V von e mit V^{−1} := {g^{−1} ; g ∈ V } ⊆ U.

(d) Für alle U ∈ 𝔘(e) und alle g ∈ int U gibt es ein V ∈ 𝔘(e) mit g · V ⊆ U.

(e) Für alle U ∈ 𝔘(e) und alle g ∈ G gibt es ein V ∈ 𝔘(e) mit g · V · g^{−1} ⊆ U.

Aufgabe 3. Sei G = GL(N, 𝕂) die Menge der invertierbaren (N × N)-Matrizen mit der Matrixmultiplikation als Verknüpfung. Zeigen Sie, daß G versehen mit der von einer Matrixnorm ∥ · ∥ induzierten Topologie eine lokalkompakte Gruppe ist. Können Sie für N > 1 auch eine von {αE_{N} ; α ∈ 𝕂, |α| = 1} (E_{N} sei die Einheitsmatrix) verschiedene kompakte Untergruppe angeben?

Aufgabe* 4. Zeigen Sie, daß die Menge ℝ \ ℚ der irrationalen Zahlen, versehen mit der von (ℝ, τ_{|·|}) induzierten Topologie τ, nicht lokalkompakt ist und daß in (ℝ \ ℚ, τ) jeder Punkt eine Umgebungsbasis besitzt, die aus sowohl offenen als auch abgeschlossenen Mengen besteht.

Abgabe: Freitag, den 15.06.2007 vor der Vorlesung oder bis 9:15 Uhr in dem Briefkasten (FT SS 07) in Gebäude E2 5 (Untergeschoß).

Die Übungsblätter finden Sie auch im Netz unter

          www.math.uni-sb.de/~ag-albrecht/ss07/top/uebungen.html.