UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 - MATHEMATIK

Prof. Dr. Ernst Albrecht

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Übungen zur Vorlesung Topologie (SS 2007)

Blatt 9

Aufgabe 1. Sei I = [a, b] ein kompaktes Intervall, y_{0} ∈ ℝ und sei f : I × ℝ → ℝ eine beschränkte, stetige Funktion. Zeigen Sie:

(a) Für alle α > 0 ist durch

y_{α}(t) := \begin{cases}y_{0} & für t ≤ a \\ y_{0} + ∫_{a}^{t} f(s, y_{α}(s − α)) ds & für a < t ≤ b \end{cases}

eine auf I wohldefinierte stetige Funktion gegeben.

(b) H := {y_{α}; α > 0} ist eine relativkompakte Teilmenge von (C(I, ℝ), ∥ · ∥_{I}). Insbesondere hat also jede Folge aus H wenigstens einen Häufungswert.

Aufgabe 2. Zeigen Sie, daß in der Situation von Aufgabe 1 jeder Häufungswert von (y_{1/n})_{n=1}^{∞} eine Lösung der Anfangswertaufgabe

y′(t) = f(t, y(t)), t ∈ I, y(a) = y_{0}

ist. Insbesondere hat also diese Anfangswertaufgabe wenigstens eine auf ganz I definierte Lösung.

Aufgabe 3. Sei f eine auf ℝ definierte, reellwertige Funktion. Ist I ein nicht zu einem Punkt ausgeartetes Intervall, so heißt

ω_{f}(I) := sup_{x∈I} f(x) − inf_{x∈I} f(x)

die Oszillation von f auf I. Zeigen Sie:

(a) Für jedes x ∈ ℝ existiert der Grenzwert

ω_{f}(x) := lim_{δ→0} ω_{f}((x − δ, x + δ))

in [0, ∞]; er heißt die Oszillation von f in x.

(b) Die Menge {x ∈ ℝ : ω_{f}(x) ≥ ε} ist abgeschlossen für alle ε > 0.

(c) Die Menge

⋃_{n=1}^{∞}\{x ∈ ℝ : ω_{f}(x) ≥ \frac{1}{n}\}

ist die Menge aller Unstetigkeitspunkte von f.

Aufgabe* 4. Sei (E, ∥ · ∥) ein normierter Raum und F ein Untervektorraum von E mit int(F) ≠ ∅. Dann ist schon F = E.

Abgabe: Freitag, den 22.06.2007 vor der Vorlesung oder bis 9:15 Uhr in dem Briefkasten (FT SS 07) in Gebäude E2 5 (Untergeschoß).

Die Übungsblätter finden Sie auch im Netz unter

          www.math.uni-sb.de/~ag-albrecht/ss07/top/uebungen.html.