UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 – MATHEMATIK Prof. Dr. Ernst Albrecht Dipl.-Math. Natalie Marx �

Übungen zur Vorlesung Funktionalanalysis II

Sommersemester 2008

Blatt 1 Abgabe: Donnerstag, 24.04.2008, vor der Vorlesung

Aufgabe 1 (10 Punkte) Zeigen Sie: Ist K eine kompakte und A eine zu K disjunkte abgeschlossene Teilmenge eines separierten topologischen Vektorraums (E, τ), so gibt es disjunkte offene Mengen V, W ⊂ E mit K ⊆ V, A ⊆ W und V ∩ W = ∅.

Aufgabe 2 (10 Punkte) Zeigen Sie, dass für ein lineares Funktional f : E → 𝕂 auf einem lokalkonvexen Hausdorffraum (E, τ) folgende Aussagen äquivalent sind:

(i) f ist stetig.

(ii) Es gibt eine konvexe Nullumgebung U mit f(U) ⊆ U_{1}(0) = {λ ∈ 𝕂; |λ| ≤ 1}.

Aufgabe 3 (10 Punkte) Sei (E, τ) ein lokalkonvexer Hausdorffraum. Zeigen Sie, dass ⟨E, E′⟩ ein Dualsystem ist.

Aufgabe 4 (10 Punkte) Seien ⟨E, F ⟩ ein Dualsystem und ∅ ≠ A ⊆ E. Dann nennen wir

A^{⊙} := {f ∈ F; Re⟨x, f⟩ ≤ 1 für alle x ∈ A}

die reelle Polare von A. Zeigen Sie, dass die reelle Bipolare (A^{⊙})_{⊙} die σ(E, F)-Abschließung der konvexen Hülle von A ∪ {0} ist.

Aufgabe 5* (4+4+2=10 Punkte) Für T ∈ L(H), H ein Hilbertraum, sei |T | := (T^{∗}T)^{\frac{1}{2}} . Zeigen Sie die folgenden Aussagen:

(a) |T | ist der einzige positive Operator P mit der Eigenschaft, dass ∥P x∥ = ∥T x∥ für alle x ∈ H gilt.

(b) Ist T invertierbar, so gibt es genau einen unitären Operator U ∈ L(H) mit T = U|T |.

(c) Ist T normal, so gibt es einen unitären Operator U mit T = U|T | = |T |U.

Bitte wenden!

Allgemeine Informationen

• Punkte aus *-Aufgaben tragen nicht zur maximal erreichbaren Punktzahl bei, werden jedoch, wenn Sie eine solche bearbeiten, wie Punkte aus normalen Aufgaben gewertet. Auf diesem Blatt sind also 40 Punkte = 100%, aber Sie können 50 Punkte erreichen.

• Um für diese Veranstaltung einen Leistungsnachweis zu erwerben, müssen folgende Voraussetzungen erfüllt sein:

(i) erfolgreiche Teilnahme am Übungsbetrieb, d.h

– durchgehende Anwesenheit in den Übungsgruppen; es besteht also Anwesenheitspflicht (außer in begründeten Ausnahmefällen),

– ernsthafte Bearbeitung von mindestens 75 % der Übungsaufgaben,

– mindestens 50 % der möglichen Übungspunkte,

– aktive Mitarbeit in den Übungsgruppen; d.h. Vorstellung der von Ihnen erarbeiteten Lösungen,

und (ii) Bestehen der mündlichen Abschlussprüfung. Das Bestehen der mündlichen Prüfung alleine - ohne erfolgreiche Teilnahme an den Übungen - berechtigt nicht zum Erwerb eines Leistungsnachweises!

• Die Übungsblätter finden Sie auch im Netz unter

        www.math.uni-sb.de/~ag-albrecht/ss08/fa2/uebungen.html