UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 – MATHEMATIK Prof. Dr. Ernst Albrecht Dipl.-Math. Natalie Marx �

Übungen zur Vorlesung Funktionalanalysis II

Sommersemester 2008

Blatt 3 Abgabe: Donnerstag, 15.05.2008, vor der Vorlesung

Aufgabe 1 (10 Punkte) Seien K_{1}, K_{2} zwei absolutkonvexe und kompakte Teilmengen eines lokalkonvexen Hausdorffraums (E, τ). Zeigen Sie, dass dann auch die absolutkonvexe Hülle absconv(K_{1} ∪ K_{2}) von K_{1} ∪ K_{2} wieder τ-kompakt ist.

Aufgabe 2 (10 Punkte) Sei E der Raum {f ∈ C[0, 1] : supp(f) ⊂ (0, 1]}, versehen mit der Supremumsnorm auf [0, 1]. Zeigen Sie, dass E nicht tonneliert ist. (Hinweis: Betrachten Sie die Menge \{f ∈ E : |f(\frac{1}{n})| ≤ \frac{1}{n} für alle n ∈ ℕ\}.)

Aufgabe 3 (5+5=10 Punkte) Zeigen Sie, dass die starken Dualräume der metrisierbaren lokalkonvexen Hausdorffräume

(i) C^{k}(Ω), k ∈ ℕ_{0} ∪ ∞, ∅ ≠ Ω ⊆ ℝ^{N} offen

(ii) 𝕂^{ℕ}

nicht metrisierbar sind.

Aufgabe 4 (5+5=10 Punkte) Zeigen Sie, dass die Räume

(i) C^{∞}(Ω), wobei Ω eine offene Teilmenge des ℝ^{N} ist

(ii) S(ℝ^{N}) := {f ∈ C^{∞}(ℝ^{N}); ∀p ∈ ℕ_{0}^{N} ∀k ∈ ℕ : ∥f∥_{p,k} := sup_{x∈ℝ^{N}}(1 + |x|)^{k}|f^{(p)}(x)| < ∞}

versehen mit der durch das Halbnormensystem (∥ · ∥_{p,k})_{p∈ℕ^{N} ,k∈ℕ} erzeugten lokalkonvexen Topologie.

Montelräume sind.

Aufgabe 5* (4 Punkte) Zeigen Sie, dass auf dem Dualraum eines normierten Raums die starke Topologie und die Normtopologie übereinstimmen.

Die Übungsblätter finden Sie auch im Netz unter

          www.math.uni-sb.de/~ag-albrecht/ss08/fa2/uebungen.html