UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 – MATHEMATIK Prof. Dr. Ernst Albrecht Dipl.-Math. Natalie Marx �

Übungen zur Vorlesung Funktionalanalysis II

Sommersemester 2008

Blatt 4 Abgabe: In der Vorlesung Funktionentheorie III am 23. Mai oder bis spätestens

23. Mai in den Briefkasten ’Prof. Albrecht’ in Gebäude E2 4 (neben Treppenaufgang)

Aufgabe 1 (8 Punkte)

Sei F = {x = (x_{n})_{n≥1}; x Folge in ℂ mit ∥x∥_{k} = ∑_{n=−∞}^{∞} |x_{n}|(|n| + 1)^{k} < ∞ für alle k ∈ ℕ}.

Zeigen Sie, dass F zusammen mit der von dem Halbnormensystem (∥ · ∥_{k})_{k∈ℕ} erzeugten lokalkonvexen Topologie ein Fréchetraum ist.

Aufgabe 2 (14 Punkte) Zeigen Sie, dass der Raum X := 𝕂^{ℕ_{0}}, versehen mit der Produkttopologie ein Montelraum ist. Zeigen Sie, dass der Dualraum von X identifiziert werden kann mit dem Raum F aller finiten Folgen

F := {φ = (φ)_{n=0}^{∞} ∈ 𝕂^{ℕ_{0}}; φ_{n} ≠ 0 für höchstens endlich viele n ∈ ℕ_{0}}

vermöge der Dualität ⟨·, ·⟩ : X × F → 𝕂, die gegeben ist durch

⟨x, φ⟩ := ∑_{n=0}^{∞} x_{n}φ_{n}

(x = (x_{n})_{n=0}^{∞} ∈ X, φ = (φ)_{n=0}^{∞} ∈ F).

Aufgabe 3 (3+3+3=9 Punkte) Sei (X, Σ, m) ein nichttrivialer endlicher, positiver Maßraum und sei L^{2} der Hilbertraum L^{2}(X, Σ, m). Wir definieren eine Mengenfunktion E auf Σ mit Werten in L(L^{2}) wie folgt:

E(A)f := χ_{A}f für A ∈ Σ und f ∈ L^{2}.

Zeigen Sie die folgenden Aussagen:

(a) Für jedes A ∈ Σ ist E(A) ∈ L(L^{2}) eine orthogonale Projektion mit ∥E(A)∥ = 1 im Fall m(A) > 0, ∥E(A)∥ = 0 sonst.

(b) E ist eine additive Mengenfunktion mit E(X) = 1.

(c) Es gilt E(A ∩ B) = E(A) ∘ E(B) für alle A, B ∈ Σ.

Bitte wenden!

Aufgabe 4 (3+3+3+4*=9+4* Punkte) Es gelten die Bezeichnungen aus Aufgabe 2. Zeigen Sie:

(a) Für eine Folge (A_{k})_{k∈ℕ} von paarweise disjunkte Mengen aus Σ sind äquivalent: (i) ∑_{k=1}^{∞} E(A_{k}) ist konvergent in L(L^{2}). (ii) Für fast alle k ∈ ℕ ist m(A_{k}) = 0.

(b) E ist im Allgemeinen nicht σ-additiv.

(c) E ist beschränkt, aber im Allgemeinen nicht von beschränkter Variation.

(d) Für x, y ∈ L^{2} betrachten wir die L^{2}-wertige Mengenfunktion

E_{x} : Σ → L^{2}, A ↦ E_{x}(A) := E(A)x

sowie die skalarwertige Mengenfunktion

E_{x,y} : Σ → 𝕂, A ↦ E_{x,y}(A) := ⟨E(A)x, y⟩.

Beide sind abzählbar additiv und beschränkt.

Die Übungsblätter finden Sie auch im Netz unter

          www.math.uni-sb.de/~ag-albrecht/ss08/fa2/uebungen.html