UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 – MATHEMATIK Prof. Dr. Ernst Albrecht Dipl.-Math. Natalie Marx �

Übungen zur Vorlesung Funktionalanalysis II

Sommersemester 2008

Blatt 5 Abgabe: Donnerstag, 05.06.2008, vor der Vorlesung

Aufgabe 1 (4+4=8 Punkte) Seien x, ξ ∈ ℝ^{n}. Für φ ∈ S(ℝ^{n}) definieren wir die Fouriertransformation F : S(ℝ^{n}) → S(ℝ^{n}) durch

φ̂(ξ) := (Fφ)(ξ) := (2π)^{− \frac{n}{2}} ∫_{ℝ^{n}} e^{−i⟨x,ξ⟩}φ(x) dx.

Zeigen Sie, dass für jedes Paar von Multiindizes ρ, σ ∈ ℕ_{0}^{n} gilt:

(a) D^{σ}φ̂(ξ) = (−i)^{|σ|}{ \atop (x^{σ}φ)}(ξ).

(b) { \atop (D^{ρ}φ)}(ξ) = i^{|ρ|}ξ^{ρ}φ̂(ξ).

Aufgabe 2 (12 Punkte) Seien die Bezeichnungen wie in Aufgabe 1. Zeigen Sie, dass aus φ ∈ S(ℝ^{n}) folgt, dass φ̂ ∈ S(ℝ^{n}) gilt und zeigen Sie weiter, dass die Fouriertransformation F : S(ℝ^{n}) → S(ℝ^{n}) stetig ist.

Aufgabe 3 (10 Punkte) Für φ ∈ S(ℝ^{n}) und ξ ∈ ℝ^{n} definieren wir

φ̌(ξ) := (F^{∗}φ)(ξ) := (2π)^{− \frac{n}{2}} ∫_{ℝ^{n}} e^{i⟨x,ξ⟩}φ(x) dx.

Zeigen Sie, dass die Fouriertransformation F : S(ℝ^{n}) → S(ℝ^{n}) ein Isomorphismus ist und die oben definierte Abbildung F^{∗} die zu F inverse Abbildung ist, d. h. F^{−1} = F^{∗}. Wir nennen die Abbildung F^{∗} die inverse Fouriertransformation.

Aufgabe 4 (5+5=10 Punkte) Seien die Bezeichnungen wie in Aufgabe 1.

(a) Zeigen Sie, dass F^{4} = Id gilt.

(b) Zeigen Sie, dass für jedes Paar φ, ψ ∈ S(ℝ^{n}) gilt:

∫_{ℝ^{n}} φ̂(ξ)ψ(ξ) dξ = ∫_{ℝ^{n}} φ(x)ψ̂(x) dx

Bitte wenden!

Aufgabe 5* (6 Punkte) Zeigen Sie, dass die Gaußglocke φ(x) := e^{− \frac{1}{2} |x|^{2}} für x ∈ ℝ^{n} ihre eigene Fouriertransformierte ist. (Hinweis: Sie dürfen benutzen, dass für alle s ∈ ℝ gilt:

1 = \frac{1}{\sqrt{2π}} ∫_{−∞}^{∞} e^{− \frac{1}{2} (t+is)^{2}} dt.)

Allgemeine Informationen

• Am Montag, den 02.06.2008 findet statt der Übung eine zusätzliche Vorlesung statt.

• Die Übungsblätter finden Sie auch im Netz unter

             www.math.uni-sb.de/~ag-albrecht/ss08/fa2/uebungen.html