UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 – MATHEMATIK Prof. Dr. Ernst Albrecht Dipl.-Math. Natalie Marx �

Übungen zur Vorlesung Funktionalanalysis II

Sommersemester 2008

Blatt 6 Abgabe: Donnerstag, 12.06.2008, vor der Vorlesung

Aufgabe 1 (10 Punkte) Sei μ eine beschränkte Mengenfunktion auf einer Algebra Σ von Teilmengen einer Menge X. Zeigen Sie, dass für alle f ∈ B(f, Σ) gilt |f| ∈ B(f, Σ) und

|∫_{X} f dμ| ≤ ∫_{X} |f| dν(μ, ·).

Aufgabe 2 (10 Punkte) Ist (F, ∥ · ∥) ein Banachraum und K ⊂ F′ kompakt bezüglich σ(F′, F), so ist auch die σ(F′, F)-abgeschlossene absolutkonvexe Hülle von K wieder σ(F′, F)-kompakt.

Aufgabe 3 (10 Punkte) Seien (E, τ), K und f : K → E wie in Satz 20.1 und sei T : (E, τ) → (F, τ_{F}) eine stetige, lineare Abbildung von (E, τ) in einen weiteren lokalkonvexen Hausdorffraum (F, τ_{F}). Zeigen Sie, dass dann das Integral ∫_{K} T (f(t)) dμ(t) existiert und dass gilt

∫_{K} T (f(t)) dμ(t) = T (∫_{K} f dμ) .

Aufgabe 4 (10 Punkte) Sei Ω ⊆ ℂ offen und sei Γ ein System von endlich vielen stückweise glatten Kurven. Zeigen Sie: Ist f eine auf Spur(Γ) stetige Funktion mit Werten in einem Banachraum (E, ∥ · ∥), so gilt

∥∫_{Γ} f(z) dz∥ ≤ L(Γ) max_{z∈Spur(Γ)} ∥f(z)∥.

Hierbei bezeichne L(Γ) die Länge des Kurvensystems Γ.

Bitte wenden!

Aufgabe 5* (5+5=10 Punkte) Sei Ω ⊆ ℂ offen. Zeigen Sie die folgenden Aussagen:

(a) Eine Funktion f : Ω → E mit Werten in einem Banachraum (E, ∥ · ∥) ist genau dann auf Ω holomorph, wenn für jedes z ∈ Ω die Funktion f auf einer Kreisscheibe D ⊆ Ω mit Mittelpunkt z und positivem Radius durch eine in allen Punkten aus D in (E, ∥ · ∥) konvergente Potenzreihe mit Koeffizienten in E dargestellt werden kann.

(b) Für jedes z ∈ Ω ist die Potenzreihe in (a) sogar gleichmäßig auf jeder kompakten Teilmenge der größten in Ω enthaltenen Kreisscheibe mit Mittelpunkt z konvergent.

Die Übungsblätter finden Sie auch im Netz unter

     www.math.uni-sb.de/~ag-albrecht/ss08/fa2/uebungen.html