UNIVERSIT”AT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 - MATHEMATIK

Prof. Dr. Ernst Albrecht Dipl.-Math Natalie Marx

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Übungen zur Vorlesung Funktionalanalysis 2 (Sommersemester 2008)

Blatt 7

Aufgabe 1. (10 Punkte) Sei f : ℝ → ℂ eine 2π-periodische Funktion mit absolutkonvergenter Fourierreihenentwicklung, d.h.

f(t) = ∑_{n=−∞}^{∞} a_{n}e^{int} (t ∈ ℝ) und  ∑_{n=−∞}^{∞} |a_{n}| < ∞.

Zeigen Sie: Ist h eine auf einer offenen Obermenge von f([0, 2π]) holomorphe Funktion, so hat auch die Funktion h ∘ f eine absolutkonvergente Fourierreihenentwicklung.

Aufgabe 2. (8 Punkte) Seien (E, ∥·∥_{E}) und (F, ∥·∥_{F}) zwei Banachräume und seien T ∈ L, S ∈ L(F), A ∈ L(E, F) stetige, lineare Operatoren mit AT = SA und σ(T, E)∩σ(S, F) = ∅. Zeigen Sie, dass dann schon A = 0 gelten muss.

Aufgabe 3. (10 Punkte) Sei T ∈ L(E) ein stetiger linearer Operator auf einem Banachraum (E, ∥ · ∥), dessen Spektrum von der Gestalt σ(T, E) = σ_{1} ∪ σ_{2} ist mit abgeschlossenen, nicht leeren zueinander disjunkten Mengen σ_{1}, σ_{2} ⊂ ℂ. Zeigen Sie, dass es dann einen Operator P in der Bikommutantenalgebra von T gibt mit den folgenden Eigenschaften:

P ≠ 0, 1 − P ≠ 0, P = P^{2}, σ(T |_{P (E)}, P (E)) = σ_{1}, und σ(T |_{ker P} , ker P) = σ_{2} .

Aufgabe 4. (5+7=12 Punkte) Sei T ∈ L(E) ein stetiger linearer Operator auf einem Banachraum (E, ∥ · ∥). Zeigen Sie:

(a) Für alle z ∈ ℂ \ σ(T, E) gilt

(z − T)^{−1} = \frac{1}{2πi} ∫_{Γ} \frac{1}{z − w} (w − T)^{−1} dw ,

wobei Γ ein σ(T, E) umlaufendes und in ℂ \ {z} verlaufendes Kurvensystem sei.

(b) Ist f eine in einer Umgebung Ω von σ(T, E) holomorphe Funktion, so gilt die folgende verallgemeinerte Cauchysche Integralformel:

Φ_{T}^{Ω}(f^{(n)}) = \frac{n!}{2πi} ∫_{Γ} f(z)(z − T)^{−n−1}dz .

Hierbei sei Γ ein σ(T, E) umlaufendes und in Ω verlaufendes Kurvensystem.

Aufgabe^{∗} 5. (2+8=10 Punkte) Sei R eine Banachalgebra. Für x ∈ R sei r(x) der Spektralradius von x in R. Zeigen Sie:

(a) ∀x ∈ R ∀n ∈ ℕ: ∥x^{2^{n+1}}∥^{2^{−n−1}} ≤ ∥x^{2^{n}}∥^{2^{−n}}.

(b) Für alle auf einer offenen Menge Ω ⊆ ℂ holomorphen, R-wertigen Funktionen f sind die Funktionen z ↦ log r(f(z)) und z ↦ r(f(z)) auf Ω subharmonisch.

Hinweis zu (b): Verwenden Sie Teil (a) und Aufgabe 3, Blatt 7 der Übungen zur Funktionentheorie mehrerer Veränderlicher sowie Aufgabe 1, Blatt 13 der Übungen zur Funktionentheorie 2 des vergangenen Wintersemesters.

Abgabetermin: Donnerstag, 19.06.2008 vor der Vorlesung.

Die Übungsblätter finden Sie auch im Netz unter

http://www.math.uni-sb.de/~ag/albrecht/ss08/fa2/uebungen.html