UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 – MATHEMATIK Prof. Dr. Ernst Albrecht Dipl.-Math. Natalie Marx �

Übungen zur Vorlesung Funktionalanalysis II

Sommersemester 2008

Blatt 8 Abgabe: Donnerstag, 26.06.2008, vor der Vorlesung

Aufgabe 1+2 (4+2+4+4+7=21 Punkte) Für einen kompakten Hausdorffraum X ≠ ∅ und einen Hilbertraum H betrachten wir eine stetige lineare Abbildung Φ : C(X) → L(H). Zeigen Sie:

(a) Zu jedem Paar x, y ∈ H existiert genau ein Maß μ_{x,y} ∈ rca(X) mit

⟨Φ(f)x, y⟩ = ∫_{X} f(t) dμ_{x,y}(t) für alle f ∈ C(X).

(b) Für alle x, y ∈ H ist ∥μ_{x,y}∥ ≤ ∥Φ∥∥x∥∥y∥.

(c) Für α, β ∈ ℂ und x, y, z ∈ H gilt:

μ_{αx+βy,z} = αμ_{x,z} + βμ_{y,z}  sowie  μ_{z,αx+βy} = \overline{α}μ_{z,x} + \overline{β}μ_{z,y}.

(d) Zu jedem f ∈ B(X, B) existiert genau ein Ψ(f) ∈ L(H) mit

⟨Ψ(f)x, y⟩ = ∫_{X} f(t) dμ_{x,y}(t).

Die Abbildung f ↦ Ψ(f) ist eine stetige, lineare und normgleiche Fortsetzung von Φ.

(e) Die Mengenfunktion

E : B → L(H), f ↦ Ψ(χ_{δ})

ist additiv und beschränkt; sie erfüllt ⟨E(A)x, y⟩ = μ_{x,y}(A) für alle x, y ∈ H. Ferner gilt ∫_{X} f dE = Ψ(f) für alle f ∈ B(X, B).

Aufgabe 3+4 (6+7+6=19 Punkte)

(a) Sei Σ eine σ-Algebra auf einer Menge X und μ ein positives Maß auf (X, Σ). Zeigen Sie: Ist f eine komplexwertige, integrierbare Funktion auf (X, Σ, μ) mit ∫_{E} f(t) dμ(t) = 0 für alle E ∈ Σ, dann ist f identisch Null μ-fast überall.

(b) Sei ∅ ≠ X ein kompakter Hausdorffraum, μ ∈ rca(X), g ∈ B(X, B). Dann ist

λ : B → 𝕂, λ(A) := ∫_{A} g dμ für A ∈ B

in rca(X), und es gilt für alle f ∈ B(X, B)

∫_{X} f dλ = ∫_{X} fg dμ.

Wir schreiben für das Maß λ auch g_{μ}.

Bitte wenden!

(c) Zeigen Sie, dass die in (b) definierte Mengenfunktion λ die totale Variation

v(λ, A) = ∫_{A} |g(t)|v(μ, dt)

besitzt.

(Hinweis: Man beweise dies zunächst für Treppenfunktionen.)

Aufgabe 5* (5 Punkte) Sei (E, ∥ · ∥) ein Banachraum über ℂ. Ein Operator T ∈ L(E) heißt algebraisch bzw. wesentlich algebraisch, falls es ein von 0 verschiedenes Polynom p ∈ ℂ[ℤ] gibt mit p(T) = 0 bzw. so, dass p(T) ein kompakter Operator ist. Ist T algebraisch, so besteht das Spektrum von T aus höchstens endlich vielen Punkten. Was können Sie über das Spektrum eines wesentlich algebraischen Operators aussagen?

Die Übungsblätter finden Sie auch im Netz unter

          www.math.uni-sb.de/~ag-albrecht/ss08/fa2/uebungen.html