UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 – MATHEMATIK Prof. Dr. Ernst Albrecht Dipl.-Math. Natalie Marx �

Übungen zur Vorlesung Funktionalanalysis II

Sommersemester 2008

Blatt 9 Abgabe: Donnerstag, 03.07.2008, vor der Vorlesung

Aufgabe 1 (5+5=10 Punkte) Sei R eine komplexe Banchalgebra mit Einselement und a ∈ R. Sei G die bekanntlich offene Menge aller invertierbaren Elemente von R. Die Zusammenhangskomponenete G_{0} von G, die das Einselement enthält, heißt die Hauptkomponente von G. Zeigen Sie:

(a) exp(a) ∈ G_{0}.

(b) Liegt 0 in der unbeschränkten Zusammenhangskomponente von ρ_{R}(a), so existiert ein b ∈ R mit exp(b) = a. Insbesondere liegt a in G_{0}.

Aufgabe 2 (2+6+4=12 Punkte) Sei h : ℂ → ℂ gegeben durch

h(z) := \frac{z − i}{z + i} (z ∈ ℂ).

und sei T = T^{∗} ∈ L(H) ein selbstadjungierter Operator. Zeigen Sie:

(a) Der Operator U := h(T) ist unitär mit 1 ∉ σ(U, H).

(b) Drücken Sie das Spektralmaß von U durch das von T aus.

(c) Ist umgekehrt U ∈ L(H) ein unitärer Operator mit 1 ∉ σ(U, H), so gibt es genau einen selbstadjungierten Operator T ∈ L(H) mit h(T) = U.

Aufgabe 3 (4+4=8 Punkte) Sei T : H ⊇ D(T) → H ein dicht definierter linearer Operator. Zeigen Sie:

(a) ker(T^{∗}) =ran(T)^{⊥} ∩ D(T^{∗}).

(b) Ist T abgeschlossen, so gilt ker(T) =ran(T^{∗})^{⊥} ∩ D(T).

Aufgabe 4 (10 Punkte) Zeigen Sie, dass sich die auf S(ℝ^{n}) definierte Fouriertransformation zu einem unitären Operator F ∈ L(L^{2}(ℝ^{n})) fortsetzen läßt.

Bitte wenden!

Aufgabe 5* (3+3=6 Punkte) Seien φ, ψ ∈ S(ℝ^{n}). Wir definieren die Faltung von φ und ψ durch

(φ ∗ ψ)(x) := ∫_{ℝ^{n}} φ(x − y)ψ(y) dy

für x ∈ ℝ^{n}. Zeigen Sie, dass für die Fouriertransformation F dann gilt

(a) F(φ ψ) = (2π)^{− \frac{n}{2}} Fφ ∗ Fψ.

(b) F(φ ∗ ψ) = (2π)^{\frac{n}{2}} F(φ)F(ψ).

Die Übungsblätter finden Sie auch im Netz unter

          www.math.uni-sb.de/~ag-albrecht/ss08/fa2/uebungen.html