UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 – MATHEMATIK Prof. Dr. Ernst Albrecht Dipl.-Math. Natalie Marx �

Übungen zur Vorlesung Funktionalanalysis II

Sommersemester 2008

Blatt 11 Abgabe: Keine Abgabe

Aufgabe 1 Seien T_{j} ∈ L(H_{j}) normale Operatoren mit Spektralmaßen E_{j} (j = 1, 2). Ein Punkt λ ∈ ℂ heißt kritischer Eigenwert für (T_{1}, T_{2}), falls λ ein Eigenwert von T_{2} ist und die algebraische Dimension von H_{1}/Bild(λ − T_{1}) nicht endlich ist. Zeigen Sie:

(a) Gibt es einen kritischen Eigenwert λ für (T_{1}, T_{2}), so gibt es einen unstetigen linearen Operator A : H_{1} → H_{2} mit AT_{1} = T_{2}A. (Hinweis: Versuchen Sie es mit

Ax := φ(x)y für alle x ∈ H_{1},

wobei φ : H_{1} → ℂ unstetig sei mit Bild(λ − T_{1}) ⊂ kerφ und 0 ≠ y ∈ ker(λ − T_{2}) ein fester Eigenvektor zum Eigenwert λ von T_{2} sei.)

(b) Ist Bild(λ − T_{1}) von endlicher algebraischer Kodimension in H_{1}, so ist Bild(λ − T_{1}) abgeschlossen in H_{1}.

(c) Hat (T_{1}, T_{2}) keine kritischen Eigenwerte, so ist jeder lineare Operator A : H_{1} → H_{2} mit AT_{1} = T_{2}A stetig. (Hinweis:

(i) Zeigen Sie zunächst: A BildE_{1}(F ∩ σ(T_{1})) ⊂ BildE_{2}(F ∩ σ(T_{2})).

(ii) λ ∈ ℂ heiße Unstetigkeitspunkt für A, falls für jede Umgebung U von λ eine abgeschlossene Teilmenge F ⊂ U ∩ σ(T_{1}) existiert, so dass A |Bild(E_{1})F unstetig ist. Zeigen Sie wie folgt, dass die Menge Λ(A) aller Unstetigkeitspunkte für A endlich ist: Ist Λ(A) nicht endlich, so konstruiere man induktiv eine Folge (F_{n})_{n∈ℕ} von abgeschlossenen Mengen F_{n} ⊂ σ(T_{1}) und Vektoren x_{n} ∈BildE_{1}(F_{n}) mit ∥x_{n}∥ ≤ 2^{−n} und ∥Ax_{n}∥ ≥ n sowie F_{n} ∩ \overline{⋃_{k=1,k≠n}^{∞} F_{k}} = ∅ für alle n ∈ ℕ. Was folgt dann für Ax mit x = ∑_{n=1}^{∞} x_{n}?

(iii) Zeigen Sie nun, dass für den separierenden Raum

S(A) := {y ∈ H_{2} | ∃(x_{n})_{n∈ℕ} ⊂ H_{1} mit x_{n} → 0 und Ax_{n} → y bei n → ∞}

gilt:

S(A) ⊂ BildE_{2}(Λ(A)) und schließlich sogar S(A) = {0}.)

Bitte wenden!

Aufgabe 2 Sei T : H ⊇ D(T) → H ein abgeschlossener linearer Operator mit nicht leerer Resolventenmenge ρ(T) := ℂ̂ \ σ(T). Zeigen Sie: Ist λ ∈ ρ(T), so gilt

σ((λ − T)^{−1}) = {1/(λ − z); z ∈ σ(T)}.

Aufgabe 3 Sei T : H ⊇ D(T) → H ein selbstadjungierter, linearer Operator.

(a) Zeigen Sie: Für alle z ∈ ℂ \ ℝ ist (z − T)^{−1} ein normaler Operator.

(b) Berechnen Sie für z ∈ ℂ \ ℝ das Spektralmaß von (z − T)^{−1}.

Aufgabe 4 Zeigen Sie die folgenden Aussagen:

(a) Es gibt eine Borel-meßbare Funktion F : ∂𝔻 → ℂ mit exp(if(z)) ≡ z auf ∂𝔻.

(b) Die Menge G der invertierbaren Operatoren T ∈ L(H) ist wegzusammenhängend.

(Hinweis: Betrachten Sie für T ∈ G die Polarzerlegung und erinnern Sie sich an Aufgabe 1 auf Blatt 9.)

Die Übungsblätter finden Sie auch im Netz unter

          www.math.uni-sb.de/~ag-albrecht/ss08/fa2/uebungen.html