UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 – MATHEMATIK Prof. Dr. Ernst Albrecht Dipl.-Math. Natalie Didas �

Übungen zur Vorlesung Funktionalanalysis II

Sommersemester 2009

Blatt 1 Abgabe: Donnerstag, 30.04.2009, vor der Vorlesung

Aufgabe 1 (4+4=8 Punkte) Sei ℜ eine Banachalgebra mit Einselement 1. Zeigen Sie:

(a) Für alle x, y ∈ ℜ mit xy = yx gilt exp(x + y) = exp(x) exp(y).

(b) Für alle a, b, c ∈ ℜ gilt exp(a)b exp(c) = exp(L_{a} +R_{c})(b). Hierbei sind L_{a}, R_{c} ∈ L(ℜ) definiert durch

L_{a}(x) = ax  und  R_{c}(x) = xc  (x ∈ ℜ).

Aufgabe 2 (10 Punkte) Sei (ℜ, ∥·∥) eine C^{∗}-Algebra. Zeigen Sie, dass für x ∈ ℜ die folgenden Aussagen äquivalent sind:

(i) x = x^{∗}, d. h. x ist hermitesch.

(ii) ∥ exp(itx)∥ = 1 für alle t ∈ ℝ.

(iii) ∥ exp(itx)∥ ≤ 1 für alle t ∈ ℝ.

Aufgabe 3 (10 Punkte) Seien (ℜ_{1}, ∥ · ∥_{1}), (ℜ_{2}, ∥ · ∥_{2}) zwei C^{∗}-Algebren mit Einselementen 1_{ℜ_{1}}, 1_{ℜ_{2}} und sei Φ : ℜ_{1} → ℜ_{2} ein ∗-Homomorphismus mit Φ(1_{ℜ_{1}}) = 1_{ℜ_{2}}. Zeigen Sie, dass Φ dann stetig ist mit ∥Φ∥ = 1.

Aufgabe 4 (5+4+3+4*=12+4* Punkte) Die Diskalgebra ist definiert als

A(𝔻) := \{f ∈ C(\overline{𝔻}) : f |_{𝔻} ist holomorph\}.

(a) Zeigen Sie, dass durch

∥f∥_{A(𝔻)} := sup{|f(z)| : z ∈ 𝕋}

eine Norm auf A(𝔻) gegeben ist und dass A(𝔻) damit eine Banachalgebra wird.

(b) Berechnen Sie für f ∈ A(𝔻) das Spektrum σ(f) von f in A(𝔻).

(c) Zeigen Sie, dass f^{∗}(z) = \overline{f(\overline{z})} eine isometrische Involution auf A(𝔻) definiert.

(d)* Zeigen Sie, dass A(𝔻) mit dieser Involution keine C*-Algebra ist.

Bitte wenden!

Allgemeine Informationen

• Punkte aus *-Aufgaben tragen nicht zur maximal erreichbaren Punktzahl bei, werden jedoch, wenn Sie eine solche bearbeiten, wie Punkte aus normalen Aufgaben gewertet. Auf diesem Blatt sind also 40 Punkte = 100%, aber Sie können 44 Punkte erreichen.

• Um für diese Veranstaltung einen Leistungsnachweis zu erwerben, müssen folgende Voraussetzungen erfüllt sein:

(i) erfolgreiche Teilnahme am Übungsbetrieb, d.h

– durchgehende Anwesenheit in den Übungsgruppen; es besteht also Anwesenheitspflicht (außer in begründeten Ausnahmefällen),

– ernsthafte Bearbeitung von mindestens 75 % der Übungsaufgaben,

– mindestens 50 % der möglichen Übungspunkte,

– aktive Mitarbeit in den Übungsgruppen; d.h. Vorstellung der von Ihnen erarbeiteten Lösungen,

und (ii) Bestehen einer mündlichen Prüfung. Das Bestehen einer mündlichen Prüfung alleine - ohne erfolgreiche Teilnahme an den Übungen - berechtigt nicht zum Erwerb eines Leistungsnachweises!

• Die Übungsblätter finden Sie auch im Netz unter

        www.math.uni-sb.de/~ag-albrecht/ss09/fa2/uebungen.html