UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 - MATHEMATIK

Prof. Dr. Ernst Albrecht

�

Übungen zur Vorlesung Geometrische Funktionentheorie (SS 2009)

Blatt 1

Für 0 ≠ a ∈ 𝔻 := {z ∈ ℂ; |z| < 1} sei ϕ_{a} : ℂ̂ → ℂ̂ definiert durch

ϕ_{a}(z) := \begin{cases}\frac{z − a}{1 − \overline{a}z} & für z ∈ ℂ \\ \frac{−1}{\overline{a}} & für z = ∞ . \end{cases}

Ferner definieren wir ϕ_{0} := idℂ̂. Aus der Funktionentheorievorlesung ist bekannt:

Aut(𝔻) = {e^{it}ϕ_{a}|_{𝔻}; a ∈ 𝔻, t ∈ ℝ} .

Aufgabe 1. Zeigen Sie, dass für alle t ∈ ℝ, a ∈ 𝔻 genau eine der folgenden vier Aussagen gilt:

(a) e^{it}ϕ_{a} = id.

(b) e^{it}ϕ_{a} hat genau zwei Fixpunkte w_{a}, w_{i} mit w_{a} ∈ ℂ̂ \ 𝔻, w_{i} ∈ 𝔻. Der zugehörige Automorphismus heißt dann elliptisch.

(c) e^{it}ϕ_{a} hat zwei verschiedene Fixpunkte w_{1}, w_{2} ∈ 𝕋 := {z ∈ ℂ; |z| = 1}. Der zugehörige Automorphismus heißt dann hyperbolisch.

(d) e^{it}ϕ_{a} hat geau einen (doppelten) Fixpunkt w_{0} und dieser liegt in 𝕋. Der zugehörige Automorphismus heißt dann parabolisch

Zeigen Sie weiter: Ist im Fall (b) w_{i} ≠ 0, so ist w_{a} ≠ ∞ und |w_{i}w_{a}| = 1.

Aufgabe 2. Für z ∈ ℂ \ {1} und θ ∈ ℝ sei

k_{θ}(z) := \frac{z}{(1 − ze^{iθ})^{2}}

(a) Geben Sie die Potenzreihenentwicklung von k_{θ} um den Entwicklungspunkt 0 an.

(b) Berechnen Sie k_{θ}(\frac{1}{ze^{2iθ}}) für 0 ≠ z ∈ ℂ.

(c) Zeigen Sie, dass k_{θ} auf 𝔻 schlicht ist.

(d) Berechnen Sie k_{θ}(𝔻).

Aufgabe^{∗} 3. Gegeben seien die gebrochen linearen Transformationen ψ_{1}, ψ_{2}, ψ_{3} auf 𝔻 mit

ψ_{1}(z) := e^{2009i}z, ψ_{2}(z) = \frac{(1 + i)z − i}{iz + 1 − i}, ψ_{3}(z) = \frac{2z + 1}{2 + z}.

(a) Zeigen Sie ψ_{2}, ψ_{2} ∈ Aut(𝔻).

(b) Klassifizieren Sie die Automorphismen ψ_{1}, ψ_{2}, ψ_{3} gemäß Aufgabe 1.

Abgabetermin: Mittwoch, 29.04.2009, vor der Vorlesung.

Die Übungsblätter finden Sie auch im Netz unter

http://www.math.uni-sb.de/~ag/albrecht/ss09/geom-ft/uebungen.html

Informationen zum Erwerb eines Leistungsnachweises

Sie können zu dieser Vorlesung einen (benoteten) Leistungsnachweis erwerben. Die Voraussetzungen hierfür sind:

(a) erfolgreiche Teilnahme am Übungsbetrieb, d.h. • ernsthafte Bearbeitung von mindestens 60 % der gestellten Übungsaufgaben,

• mindestens 40 % aller erreichbaren Punkte,

• aktive Mitarbeit in der Übungsgruppe, und

(b) Bestehen der mündlichen Prüfung am Ende des Semesters.