UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 - MATHEMATIK

Prof. Dr. Ernst Albrecht

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Übungen zur Vorlesung Geometrische Funktionentheorie (SS 2009)

Blatt 3

Sei K ⊂ ℂ eine kompakte Menge, die aus mehr als einem Punkt besteht und deren Komplement in ℂ̂ = ℂ ∪ ∞ einfach zusammenhängend ist. Nach dem Riemannschen Abbildungssatz gibt es genau eine biholomorphe Abbildung Ψ von ℂ̂ \ \overline{D} auf ℂ̂ \ K mit Ψ(∞) = ∞ und Ψ′(∞) = lim_{z→∞} Ψ′(z) > 0. Die Funktion Ψ hat dann in einer punktierten Umgebung von ∞ eine Laurententwicklung

Ψ(z) = ∑_{n=−∞}^{1} a_{n}z^{n}.

Aufgabe 1. Zeigen Sie, dass die Funktion

z ↦ \frac{zΨ′(z)}{Ψ(z) − w}

für alle w ∈ K in einer Umgebung von ∞ holomorph ist und in ∞ den Wert 1 annimmt. Daher hat diese Funktion in einer Umgebung von ∞ eine Darstellung der Form

\frac{zΨ′(z)}{Ψ(z) − w} = ∑_{n=0}^{∞} p_{n}(w)z^{−n}.

Zeigen Sie weiter, dass die hierdurch definierten Funktionen w ↦ p_{n}(w) Polynome vom Grad n sind (n ∈ ℕ_{0}).

Aufgabe 2. Sei nun speziell K := [−1, 1]. Zeigen Sie, dass in diesem Fall die Funktion Ψ die Darstellung

Ψ(z) = \frac{1}{2} (z + \frac{1}{z})

besitzt, und geben sie die inverse Abbildung

Ψ^{−1} : ℂ̂ \ [−1, 1] → ℂ̂ \ \overline{𝔻}

an.

Aufgabe^{∗} 3. Geben Sie in der Situation K = [−1, 1] eine Rekursionsformel für die in Aufgabe 1 gefundene Folge von Polynomen an und berechnen Sie p_{0}, …, p_{5}.

Abgabetermin: Mittwoch, 13.05.2009, vor der Vorlesung.

Die Übungsblätter finden Sie auch im Netz unter

http://www.math.uni-sb.de/~ag/albrecht/ss09/geom-ft/uebungen.html