UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 - MATHEMATIK

Prof. Dr. Ernst Albrecht

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Übungen zur Vorlesung Geometrische Funktionentheorie (SS 2009)

Blatt 4

Aufgabe 1. Seien f, g ∈ O(𝔻) mit Potenzreihendarstellungen

f(z) = ∑_{n=1}^{∞} a_{n}z^{n}, g(z) = ∑_{n=1}^{∞} b_{n}z^{n} (z ∈ 𝔻)

und sei g schlicht sowie f(𝔻) ⊆ g(𝔻). Zeigen Sie, dass dann |a_{1}| ≤ |b_{1}| gilt.

Hinweis: Verwenden Sie das Lemma von Schwartz.

Aufgabe 2. Zeigen Sie: Ist in der Situation von Aufgabe 1 zusätzlich die Menge g(𝔻) konvex, so gilt sogar |a_{m}| ≤ |b_{1}| für alle m ∈ ℕ.

Hinweis: Für festes m ∈ ℕ bezeichnen wir mit ζ_{1}, …, ζ_{m} die m-ten Einheitswurzeln. Ist z = re^{iθ} ∈ 𝔻, so definieren wir

h(z) := \frac{1}{m} ∑_{k=1}^{m} f(ζ_{k}re^{iθ/m}).

Zeigen Sie nun, dass die so definierte Funktion h : 𝔻 → ℂ auf 𝔻 holomorph ist. Wie lautet die Potenzreihendarstellung von h?

Aufgabe^{∗} 3. Sei g wie in Aufgabe 2 mit zusätzlich b_{1} = 1. Zeigen Sie

|b_{n}| ≤ 1 für alle n ∈ ℕ

und zeigen Sie, dass diese Ungleichungen scharf sind, indem Sie ein Beispiel einer Funktion g angeben, die den genannten Forderungen genügt und für die |b_{n}| = 1 für alle n ∈ ℕ gilt.

Abgabetermin: Mittwoch, 20.05.2009, vor der Vorlesung.

Die Übungsblätter finden Sie auch im Netz unter

http://www.math.uni-sb.de/~ag/albrecht/ss09/geom-ft/uebungen.html