UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 - MATHEMATIK

Prof. Dr. Ernst Albrecht

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Übungen zur Vorlesung Geometrische Funktionentheorie (SS 2009)

Blatt 5

Aufgabe 1. Sei f ∈ S und sei f(𝔻) konvex. Für θ ∈ ℝ sei die Funktion f_{θ} definiert durch f_{θ}(z) := −e^{−iθ}f(e^{iθ}z). Zeigen Sie:

(a) Ist θ ∈ ℝ, so ist auch f_{θ} ∈ S und mit konvexem Bild f_{θ}(𝔻) und für alle r > 0 ist U_{r}(0) ⊆ f_{θ}(𝔻) genau dann, wenn U_{r}(0) ⊆ f(𝔻).

(b) Sei w_{0} = re^{iθ} ∈ ℂ \ f(𝔻) mit r = min{|w|; w ∈ ℂ \ f(𝔻)}. Dann gilt

f_{θ}(𝔻) ⊆ ℍ_{−r} := {w ∈ ℂ; Re w ≥ −r}.

Aufgabe 2. Sei f wie in Aufgabe 1 und sei r > 0 wie in Aufgabe 1 (b). Die Funktion g : 𝔻 → ℂ sei definiert durch

g(z) := \frac{2rz}{1 − z} , (z ∈ 𝔻).

Zeigen Sie:

(a) g(𝔻) = ℍ_{−r}.

(b) U_{1/2}(0) = {z ∈ ℂ; |z| < 1/2} ⊆ f(𝔻).

Mit Hilfe dieser Aufgabe und der Resultate aus Blatt 4 kann man folgende Variante des Satzes 1.4 der Vorlesung zeigen (mit einem analogen Beweis):

Satz. Sei f ∈ S mit konvexem Bildbereich f(𝔻) und sei 0 < r < 1. Dann gilt für alle z ∈ ℂ mit |z| = r:

(a) \frac{r}{1+r} ≤ |f(z)| ≤ \frac{r}{1−r}.

(b) \frac{1}{(1+r)^{2}} ≤ |f′(z)| ≤ \frac{1}{(1−r)^{2}} .

(c) \frac{1}{r(1+r)} ≤ \frac{|f′(z)|}{|f(z)|} ≤ \frac{1}{r(1−r)}.

Diese Ungleichungen sind scharf: Gleichheit tritt auf für die Funktion f : z ↦ \frac{z}{1−z} in den Punkten z = ±r.

Aufgabe^{∗} 3. Sei f ∈ O(𝔻) mit einer Potenzreihendarstellung der Form

f(z) = z + ∑_{n=2}^{∞} a_{n}z^{n}.

Zeigen Sie:

(a) Gilt f(𝔻) ∩ ℝ = f(𝔻 ∩ ℝ), so ist a_{n} ∈ ℝ und |a_{n}| ≤ n für alle n ≥ 2. (Betrachten Sie hierzu Im f(re^{iθ}) für 0 < r < 1, θ ∈ [0, 2π]).

(b) Ist f ∈ S mit reellen Koeffizienten, so gilt |a_{n}| ≤ n für alle n ≥ 2.

Abgabetermin: Mittwoch, 27.05.2009, vor der Vorlesung.

Die Übungsblätter finden Sie auch im Netz unter

http://www.math.uni-sb.de/~ag/albrecht/ss09/geom-ft/uebungen.html