UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 - MATHEMATIK

Prof. Dr. Ernst Albrecht

�

Übungen zur Vorlesung Geometrische Funktionentheorie (SS 2009)

Blatt 6

Für p > 0 sei w_{p}(z) := ∑_{n=0}^{∞} d_{n}(p)z^{n} die Potenzreihenentwicklung in 0 der Funktion z ↦ w_{p}(z) := (1 − z)^{−p}.

Aufgabe 1. Zeigen Sie, dass für p > 0 gilt:

d_{n}(p) = \frac{Γ(p + n)}{Γ(p)n!} ∼ \frac{n^{p−1}}{Γ(p)} für n → ∞.

Aufgabe 2. Zeigen Sie, dass für p > 1/2 gilt

\frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π} w_{p}(re^{iθ}) dθ = ∑_{n=0}^{∞} |d_{n}(p)|^{2}r^{2n} ∼ \frac{Γ(p − 1/2)}{2\sqrt{π}Γ(p)}(1 − r)^{1−2p} für r ↗ 1.

Hinweis: Verwenden Sie die Verdoppelungsformel von Lagrange für die Gammafunktion.

Abgabetermin: Mittwoch, 03.06.2009, vor der Vorlesung.

Die Übungsblätter finden Sie auch im Netz unter

http://www.math.uni-sb.de/~ag/albrecht/ss09/geom-ft/uebungen.html

Am 17. Juni findet die Vorlesung ausnahmsweise in Seminarraum 7 statt!