UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 - MATHEMATIK

Prof. Dr. Ernst Albrecht

�

Übungen zur Vorlesung Geometrische Funktionentheorie (SS 2008)

Blatt 8

Sei p ∈ O(𝔻) mit Re p(z) > 0 für 0 ≠ z ∈ 𝔻 und mit p(0) = 1. Zeigen Sie die folgenden Ungleichungen für p:

Aufgabe 1. \frac{1 − |z|}{1 + |z|} ≤ Re p(z) ≤ \frac{1 + |z|}{1 − |z|}.

Aufgabe 2. | Im p(z)| ≤ \frac{2|z|}{1 − |z|^{2}} .

Aufgabe^{∗} 3. |Argp(z)| ≤ sin^{−1} (\frac{2|z|}{1 + |z|^{2}} ).

Aufgabe^{∗} 4. \frac{|p′(z)|}{Re p(z)} ≤ \frac{1}{1 − |z|^{2}} .

Abgabetermin: Mittwoch, 17.06.2009, vor der Vorlesung.

Die Übungsblätter finden Sie auch im Netz unter

http://www.math.uni-sb.de/~ag/albrecht/ss09/geom-ft/uebungen.html

Am 17. Juni findet die Vorlesung ausnahmsweise in Seminarraum 7 statt!