UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 - MATHEMATIK

Prof. Dr. Ernst Albrecht

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Übungen zur Vorlesung Geometrische Funktionentheorie (SS 2008)

Blatt 9

Im folgenden sei (G_{n})_{n∈ℕ} eine Folge von Gebieten in ℂ mit 0 ∈ G_{n} für alle n ∈ ℕ, für die der Kern

G := ker(G_{n})_{n=1}^{∞}

existiert.

Aufgabe 1. Sei (f_{n})_{n=1}^{∞} eine Folge von kompakt gegen eine Funktion f ∈ O(G) konvergenten schlichten Funktionen f_{n} ∈ O(G_{n}) (n ∈ ℕ). Zeigen Sie, dass dann die Funktion f entweder schlicht oder schon konstant auf G ist.

Aufgabe 2. Sei (a_{n})_{n=1}^{∞} eine Folge komplexer Zahlen, welche in ℂ̂ := ℂ∪{∞} konvergent gegen ein a ∈ ℂ̂ ist. Zeigen Sie:

(a) Ist a ∈ ℂ \ {0}, so gilt a_{n}G_{n} → aG für n → ∞.

(b) Ist a = ∞, so gilt a_{n}G_{n} → ℂ für n → ∞.

(c) Ist a = 0, so hat die Folge (a_{n}G_{n})_{n=1}^{∞} keinen Kern.

Aufgabe^{∗} 3. Sei ϕ eine Möbiustransformation der Gestalt ϕ(z) = \frac{az}{cz+d} mit ad ≠ 0. Zeigen Sie:

(a) ϕ(G) = ker (ϕ(G_{n}))_{n=1}^{∞}.

(b) Gilt G_{n} → G für n → ∞, so gilt auch ϕ(G_{n}) → ϕ(G) für n → ∞.

Abgabetermin: Mittwoch, 24.06.2009, vor der Vorlesung.

Die Übungsblätter finden Sie auch im Netz unter

http://www.math.uni-sb.de/~ag/albrecht/ss09/geom-ft/uebungen.html