UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 - MATHEMATIK

Prof. Dr. Ernst Albrecht

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Übungen zur Vorlesung Geometrische Funktionentheorie (SS 2009)

Blatt 11

Aufgabe 1. Zeigen Sie: Ist (f_{n})_{n=1}^{∞} eine Folge von schlichten Funktionen auf 𝔻 mit f_{n}(0) = 0 und f′(0) > 0 für alle n ∈ ℕ, so gilt: Die Folge (f_{n})_{n=1}^{∞} konvergiert genau dann kompakt auf 𝔻 gegen eine schlichte Funktion f ∈ O(𝔻), wenn die Folge (f_{n}(𝔻))_{n=1}^{∞} einen von ℂ verschiedenen Kern Ω besitzt und f_{n}(𝔻) → Ω für n → ∞ gilt.

Aufgabe 2. Sei f ∈ C(𝔻 × [0, ∞)) eine Loewnerkette. Zeigen Sie:

(a) Für alle s, t ∈ [0, ∞) mit s < t ist f(𝔻, s) eine echte Teilmenge von f(𝔻, t).

(b) Ist (t_{n})_{n=1}^{∞} eine in [0, ∞) gegen einen Punkt t ∈ [0, ∞) konvergente Folge, so gilt f(𝔻, t_{n}) → f(𝔻, t) für n → ∞.

(c) Ist (t_{n})_{n=1}^{∞} eine gegen ∞ konvergente Folge aus [0, ∞) so gilt f(𝔻, t_{n}) → ℂ für n → ∞.

Abgabetermin: Mittwoch, 08.07.2009, vor der Vorlesung.

Die Übungsblätter finden Sie auch im Netz unter

http://www.math.uni-sb.de/~ag/albrecht/ss09/geom-ft/uebungen.html