UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 - MATHEMATIK

Prof. Dr. Ernst Albrecht

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Übungen zur Vorlesung Geometrische Funktionentheorie (SS 2009)

Blatt 12

Auf diesem Übungsblatt sei f : 𝔻 × [0, ∞) → ℂ eine Funktion mit den folgenden Eigenschaften:

(a) Für alle t ≥ 0 ist f(·, t) : 𝔻 → ℂ eine auf 𝔻 schlichte holomorphe Funktion.

(b) Für alle t ≥ 0 gilt f(0, t) = 0 und f′(0, t) = e^{t}.

(c) Für alle s, t ≥ 0 mit s < t gilt f(𝔻, s) ⊆ f(𝔻, t).

(d) Für alle z ∈ 𝔻 ist die Funktionen f(z, ·) : [0, ∞) → ℂ stetig.

Aufgabe 1. Zeigen Sie, dass für alle z ∈ 𝔻 und alle t ≥ 0 die folgenden Ungleichungen erfüllt sind:

(a) e^{t} \frac{1 − |z|}{(1 + |z|)^{3}} ≤ |f′(z, t)| ≤ e^{t} \frac{1 + |z|}{(1 − |z|)^{3}} .

(b) e^{t} \frac{|z|}{(1 + |z|)^{2}} ≤ |f(z, t)| ≤ e^{t} \frac{|z|}{(1 − |z|)^{2}} .

Was können Sie über f aussagen, wenn in einer der Ungleichungen in (a) oder (b) das Gleichheitszeichen steht?

Aufgabe 2. Zeigen Sie:

(a) Für alle T > 0 ist die Menge {f(·, t) ; 0 ≤ t ≤ T } relativkompakt in O(𝔻).

(b) f ist eine Loewner-Kette.

Aufgabe^{∗} 3. Sei γ : [0, ∞) → ℂ injektiv und stetig mit 0 ∉ γ([0, ∞)) und γ(t) → ∞ für t → ∞. Für t ≥ 0 setzen wir

G_{t} := ℂ \ γ([t, ∞)).

Zeigen Sie, dass für die Familie (G_{t})_{t≥0} die Voraussetzungen (a)-(c) zu Satz 4.13 der Vorlesung erfüllt sind.

Abgabetermin: Mittwoch, 15.07.2009, vor der Vorlesung.

Die Übungsblätter finden Sie auch im Netz unter

http://www.math.uni-sb.de/~ag/albrecht/ss09/geom-ft/uebungen.html