UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 - MATHEMATIK

Prof. Dr. Ernst Albrecht

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Übungen zur Vorlesung Geometrische Funktionentheorie (SS 2009)

Blatt 13

Aufgabe 1. Sei k_{0} die Koebefunktion

k_{0}(z) = \frac{z}{(1 − z)^{2}} (z ∈ 𝔻).

und sei f die durch

f(z, t) := e^{t}k_{0}(z) = \frac{e^{t}z}{(1 − z)^{2}} (z ∈ 𝔻, t ≥ 0)

definierte Loewnerkette (vergl. Beispiel 4.2 der Vorlesung). Geben Sie die zu f gehörige Übergangsfunktion ϕ an.

Aufgabe 2. Sei ϕ die Übergangsfunktion zu einer Loewnerkette f. Zeigen Sie, dass für alle z ∈ 𝔻 und alle s, t ≥ 0 mit s ≤ t die folgenden Ungleichungen erfüllt sind:

(a) e^{s−t} \frac{1 − |z|}{(1 + |z|)^{3}} ≤ |ϕ′(z, s, t)| ≤ e^{s−t} \frac{1 + |z|}{(1 − |z|)^{3}} .

(b) e^{s−t} \frac{|z|}{(1 + |z|)^{2}} ≤ |ϕ(z, s, t)| ≤ e^{s−t} \frac{|z|}{(1 − |z|)^{2}} .

Aufgabe^{∗} 3. Sei ϕ die Übergangsfunktion zu einer Loewnerkette f. Zeigen Sie mit Hilfe von Aufgabe 2 und analog zum Beweis von Lemma 4.16 der Vorlesung, dass für alle z ∈ 𝔻 und alle s, t, u ≥ 0 mit s ≤ t ≤ die folgende Ungleichung gilt:

|ϕ(z, t, u) − ϕ(z, s, u)| ≤ \frac{8|z|}{(1 − |z|)^{4}} (1 − e^{s−t}).

Abgabetermin: Mittwoch, 22.07.2009, vor der Vorlesung.

Die Übungsblätter finden Sie auch im Netz unter

http://www.math.uni-sb.de/~ag/albrecht/ss09/geom-ft/uebungen.html