UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 - MATHEMATIK

Prof. Dr. Ernst Albrecht

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Übungen zur Vorlesung Lokale Methoden in der Spektraltheorie 2

(Sommersemester 2009)

Blatt 10

Aufgabe 1. Sei Φ : C^{k}(ℝ^{N}) → X (k ∈ ℕ_{0}, N ∈ ℕ) eine stetige lineare Abbildung von der vollständigen metrisierbaren Algebra aller auf ℝ^{N} k-mal stetig differenzierbaren Funktionen in einen Banachraum (X, ∥ · ∥) mit supp Φ ⊆ {a} für einen Punkt a ∈ ℝ^{N}. Zeigen Sie, dass es dann Vektoren x_{α} ∈ X für alle α = (α_{1}, …, α_{N}) ∈ ℕ_{0}^{N} mit |α| := ∑_{j=1}^{N} α_{j} ≤ k gibt, su dass für alle u ∈ C^{k}(ℝ^{N}) gilt:

Φ(u) = ∑_{|α|≤k} \frac{1}{α!} \frac{∂^{α}u}{∂x^{α}}(a)x_{α} .

Hinweis: Fixieren Sie eine Funktion χ ∈ C^{∞}(ℝ^{N}) mit supp χ ⊂ U_{1}(0) und χ ≡ 1 auf U_{1/2}. Ist ρ ∈ C(ℝ^{N}) mit

\frac{∂^{α}ρ}{∂x^{α}} (a) = 0 für alle α ∈ ℕ_{0}^{N} mit |α| ≤ k,

so zeige man Φ(ρ) = 0, indem man die Existenz einer positiven Konstanten C zeigt, so dass für alle t > 0 gilt

|Φ(ρ)| = |Φ (χ (t(· − a)) ρ)| ≤ \frac{C}{t} .

Anschließend betrachte man die Taylordarstellung mit Restglied für alle u ∈ C^{k}(ℝ^{N}).

Aufgabe 2. Sei k ∈ ℕ_{0} und T ein C^{k}(ℂ)-skalarer Operator der einen stetigen C^{k}(ℂ)- Funktionalkalül besitze. Zeigen Sie: Genau dann besitzt T wenigstens einen Eigenwert, wenn es ein z_{0} ∈ ℂ und ein x_{0} ∈ X gibt mit σ_{T} (x_{0}) = {z_{0}}.

Aufgabe^{∗} 3. Sei k ∈ ℕ_{0} und T ein quasinilpotenter C^{k}(ℂ)-skalarer Operator der einen stetigen C^{k}(ℂ)-Funktionalkalül besitze. Zeigen Sie dass dann T^{k+1} = 0 gilt.

Abgabetermin: Freitag, 03.07.2009, vor der Vorlesung.

Die Übungsblätter finden Sie auch im Netz unter

http://www.math.uni-sb.de/~ag/albrecht/ss09/spektral/spektral-ueb.html