UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 – MATHEMATIK Prof. Dr. Ernst Albrecht Dipl.-Math. Natalie Didas �

Übungen zur Vorlesung Lokale Methoden in der Spektraltheorie II

Sommersemester 2009

Blatt 2 Abgabe: Freitag, 08.05.2009, vor der Vorlesung

Aufgabe 1 Sei K ein kompakter Hausdorffraum und sei X = C(K) versehen mit der Supremumsnorm ∥ · ∥_{K}. Für alle a ∈ C(K) sei M_{a} der Multiplikationsoperator mit a. Zeigen Sie, dass M_{a} die eindeutige Fortsetzungseigenschaft EFE hat und es gilt:

(a) Für alle f ∈ C(K) gilt: σ_{M_{a}}(f) = a(supp f).

(b) Für alle F = \overline{F} ⊆ ℂ ist X_{M_{a}}(F) = \{f ∈ X | supp f ⊆ a^{−1}(F)\}.

Aufgabe 2 Sei X ein Banachraum, T ∈ L(X), x ∈ X und U ⊆ ℂ offen. Betrachten Sie eine holomorphe Funktion f : U → X mit (ξ − T)f(ξ) = x für alle ξ ∈ U. Zeigen Sie, dass dann U ⊆ ρ_{T} (f(λ)) für alle λ ∈ U gilt. Ausserdem ist σ_{T} (x) = σ_{T} (f(λ)) für alle λ ∈ U.

Aufgabe 3* Sei X ein Banachraum und T ∈ L(X). Zeigen Sie, dass folgende Aussagen äquivalent sind:

(i) T hat die eindeutige Fortsetzungseigenschaft EFE.

(ii) X̃_{T} (∅) = {0}, wobei wir für F ⊆ ℂ definieren X̃_{T} (F) := {x ∈ X | σ_{T} (x) ⊆ F }.

Die Übungsblätter finden Sie auch im Netz unter

      www.math.uni-sb.de/~ag-albrecht/ss09/spektral/spektral-ueb.html