UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 – MATHEMATIK Prof. Dr. Ernst Albrecht Dipl.-Math. Natalie Didas �

Übungen zur Vorlesung Lokale Methoden in der Spektraltheorie II

Sommersemester 2009

Blatt 3 Abgabe: Freitag, 15.05.2009, vor der Vorlesung

Sei X ein komplexer Banachraum.

Aufgabe 1 Sei T ∈ L(X) und sei X̃_{T} (F) = {x ∈ X | σ_{T} (x) ⊆ F } für alle F ⊆ ℂ. Zeigen Sie die folgenden Aussagen:

(a) X̃_{T} (F) ist ein T -hyperinvarianter Teilraum von X, d. h. für alle Operatoren S, die mit T kommutieren, gilt S(X_{T} (F)) ⊆ X_{T} (F).

(b) Für alle λ ∈ ℂ \ F gilt (λ − T)X̃_{T} (F) = X̃_{T} (F).

(c) Gilt für x ∈ X und λ ∈ F: (λ − T)x ∈ X̃_{T} (F), so ist x ∈ X̃_{T} (F).

(d)* Ist Y ein T -invarianter (d. h. T Y ⊆ Y) abgeschlossener linearer Unterraum von X mit σ(T |_{Y}) ⊆ F, so ist Y ⊆ X̃_{T} (F).

Aufgabe 2 Sei T ∈ L(X) so, dass σ(T) = σ_{1} ∪ σ_{2} gilt mit abgeschlossenen, disjunkten und nichtleeren Mengen σ_{1}, σ_{2} ⊂ ℂ. Seien weiter Ω_{1}, Ω_{2} ⊂ ℂ offen mit σ_{j} ⊂ Ω_{j} für j = 1, 2 und mit Ω_{1} ∩ Ω_{2} = ∅. Ferner seien h_{j} : Ω_{1} ∪ Ω_{2} → ℂ definiert durch h_{j}(z) = χ_{Ω_{j}} |_{Ω_{1}∪Ω_{2}} für j = 1, 2. Zeigen Sie die folgenden Aussagen:

(a) X_{T} (σ_{1}) + X_{T} (σ_{2}) = X.

(b) X_{T} (σ_{j}) = ran h_{j}(T) und X_{T} (σ_{j}) ist spektral maximal für j = 1, 2.

(c)* Ist T ein kompakter Operator, so ist T zerlegbar.

Die Übungsblätter finden Sie auch im Netz unter

      www.math.uni-sb.de/~ag-albrecht/ss09/spektral/spektral-ueb.html