UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 - MATHEMATIK

Prof. Dr. Ernst Albrecht

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Übungen zur Vorlesung Lokale Methoden in der Spektraltheorie 2

(Sommersemester 2009)

Blatt 4

Aufgabe 1. W bezeichne die Wieneralgebra der stetigen Funktionen f auf der Einheitskreislinie 𝕋 = {z ∈ ℂ; |z| = 1} mit absolut konvergenter Fourierreihenentwicklung f(z) = ∑_{n=−∞}^{∞} f̂_{n}z^{n}. Zeigen Sie:

(a) C^{2}(𝕋) ⊂ W.

(b) W ist eine im Sinn der Vorlesung zulässige Algebra.

Aufgabe 2. Sei 1 ≤ p ≤ ∞. Dann sind die folgenden Operatoren S ∈ L(ℓ^{p}(ℤ)) mit

x = (x_{n})_{n=−∞}^{∞} ↦ Sx := (x_{n+1})_{n=−∞}^{∞}

und T_{h} ∈ L(L^{p}(ℝ)) (mit h ∈ ℝ) mit

(T_{h}f)(x) := f(x + h) , (f ∈ L^{p}(ℝ), x ∈ ℝ)

W -skalar.

Aufgabe^{∗} 3. Sei S ∈ L(H) ein normaler Operator auf einem Hilbertraum H und sei N ∈ L(H) ein mit S kommutierender nilpotenter Operator mit N^{m} = 0 für ein m ≥ 2. Zeigen Sie, dass der Operator T = S + N ein C^{m−1}(ℂ)-skalarer Operator ist.

Hinweis: Versuchen Sie es mit dem Ansatz

Φ(f) := ∑_{n=0}^{m−1} \frac{1}{n!} \frac{∂^{n}f}{∂z^{n}} (S)N^{n}

für f ∈ C^{m−1}(ℂ). Hierbei sei g ↦ g(S) der aus der Funktionalanalysis bekannte stetige Funktionalkalkül für normale Operatoren.

Abgabetermin: Freitag, 22.05.2009, vor der Vorlesung.

Die Übungsblätter finden Sie auch im Netz unter

http://www.math.uni-sb.de/~ag/albrecht/ss09/spektral/spektral-ueb.html