UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 – MATHEMATIK Prof. Dr. Ernst Albrecht Dipl.-Math. Natalie Didas �

Übungen zur Vorlesung Lokale Methoden in der Spektraltheorie II

Sommersemester 2009

Blatt 5 Abgabe: Freitag, 29.05.2009, vor der Vorlesung

Gegeben sie ein kommutatives Diagramm von Vektorräumen und linearen Abbildungen mit exakten Zeilen.

0 ⟶ E_{1} ⟶^{α} E_{2} ⟶^{β} E_{3} ⟶ 0
T_{1} ⟶  T_{2} ⟶  T_{3} ⟶
0 ⟶ E_{1} ⟶^{α} E_{2} ⟶^{β} E_{3} ⟶ 0

Aufgabe 1 Zeigen Sie:

(a) Sind T_{1} und T_{3} injektiv, so auch T_{2}.

(b) Sind T_{1} und T_{3} surjektiv, so auch T_{2}.

Aufgabe 2* Zeigen Sie, dass für alle j ∈ {1, 2, 3} gilt: Sind die Operatoren T_{k} für k ∈ {1, 2, 3} \ {j} bijektiv, so ist auch T_{j} bijektiv.

Aufgabe 3 Sind in dem Diagramm alle Räume Banachräume über ℂ und sind α, β, T_{1}, T_{2}, T_{3} stetig, so gilt: Das Spektrum eines jeden der drei Operatoren T_{1}, T_{2}, T_{3} ist enthalten in der Vereinigung der Spektren der beiden anderen.

Die Übungsblätter finden Sie auch im Netz unter

      www.math.uni-sb.de/~ag-albrecht/ss09/spektral/spektral-ueb.html