UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 – MATHEMATIK Prof. Dr. Ernst Albrecht Dipl.-Math. Natalie Didas �

Übungen zur Vorlesung Lokale Methoden in der Spektraltheorie II

Sommersemester 2009

Blatt 6 Abgabe: Freitag, 05.06.2009, vor der Vorlesung

Aufgabe 1 Sei X ein Banachraum, T ∈ L(X) und Y ∈ Lat (T). Weiter sei { \atop σ(T)} = ℂ \ Ω_{0} und Ω_{0} die unbeschränkte Zusammenhangskomponente von ℂ \ σ(T). Ferner bezeichne T̃ den zu T auf X/Y induzierten stetig linearen Operator. Zeigen Sie die folgenden Aussagen:

(a) σ(T | Y) ⊂ { \atop σ(T)}.

(b) σ(T̃, X/Y) ⊂ { \atop σ(T)}.

Aufgabe 2 Zeigen Sie, dass für das Linksspektrum σ_{L}(T) und das Rechtsspektrum σ_{R}(T) eines stetigen linearen Operators T auf einem Banachraum X die folgenden Aussagen gelten:

(a) σ_{L}(T) und σ_{R}(T) sind kompakt.

(b) σ_{L}(T) = σ_{R_{T}} (1) und σ_{R}(T) = σ_{L_{T}} (1), wobei L_{T} , R_{T} ∈ L(L(X)) definiert sind durch

L_{T} A = T A und R_{T} A = AT

für alle A ∈ L(X).

Die Übungsblätter finden Sie auch im Netz unter

      www.math.uni-sb.de/~ag-albrecht/ss09/spektral/spektral-ueb.html