UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 – MATHEMATIK Prof. Dr. Ernst Albrecht Dipl.-Math. Natalie Didas �

Übungen zur Vorlesung Lokale Methoden in der Spektraltheorie II

Sommersemester 2009

Blatt 7 Abgabe: Freitag, 12.06.2009, vor der Vorlesung

Aufgabe 1 Sei D ⊂ ℂ eine offene Kreisscheibe in ℂ und sei

0 ⟶ X ⟶^{A} Y ⟶^{B} Z ⟶ 0

eine exakte Sequenz von Banachräumen und stetig linearen Abbildungen. Wir definieren die Abbildung A_{∗} : O(D, X) → O(D, Y) durch (A_{∗}f)(z) := Af(z) für alle z ∈ D und f ∈ O(D, X) und die Abbildung B_{∗} : O(D, Y) → O(D, Z) durch (B_{∗}g)(z) := Bg(z) für alle z ∈ D und g ∈ O(D, Y). Zeigen Sie, dass dann auch

0 ⟶ O(D, X) ⟶^{A_{∗}} O(D, Y) ⟶^{B_{∗}} O(D, Z) ⟶ 0

exakt ist.

Aufgabe 2 Sei D ⊂ ℂ eine offene Kreisscheibe in ℂ und sei X ein Banachraum mit X = Y + Z mit abgeschlossenen Untervektorräumen Y und Z. Zeigen Sie, dass es dann zu jeder Funktion f ∈ O(D, X) Funktionen g ∈ O(D, Y) und h ∈ O(D, Z) gibt mit f(z) = g(z) + h(z) auf D.

Die Übungsblätter finden Sie auch im Netz unter

      www.math.uni-sb.de/~ag-albrecht/ss09/spektral/spektral-ueb.html